Question

16．如图1，已知等腰直角三角形ABC的直角顶点C在x轴上，B在y轴上，
（1）若C（2，0），A（-2，-2），求B坐标；
（2）在（1）的条件下，AB交x轴于F，AC交y轴于E，连接EF，求证：①CE=AE；②∠CEB=∠AEF；
（3）如图2，直角边BC在坐标轴上运动，使点A在第四象限，过A作AD⊥y轴于点D，求$\frac{CO-AD}{BO}$．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AM⊥CF于M，由△ACM≌△CBO，得CM=BO=4即可解决．
（2）求出线段BC，BF，AF，AE，得出$\frac{AF}{BF}=\frac{AE}{BC}$，可以证△AEF∽△BCF得到∠AEF=∠BCF，再证明∠BCF=∠OEC即可．
（3）如图2中，作AM⊥OC于M，只要证明△ACM≌△CBO得CM=BO，由四边形ADOM是矩形得AD=OM，即可得出CO-AD=CO-OM=CM=BO，即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，作AM⊥CF于M．
∵∠ACM+∠BCO=90°，∠BCO+∠CBO=90°，
∴∠ACM=∠CBO，
在△ACM和△CBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMC=∠BOC=90°}\\{∠ACM=∠CBO}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△CBO，
∴CM=BO=4，
∴点B坐标（0，4）．
（2）如图2中，∵AM∥BO，AM=MO=2，
∴$\frac{AM}{BO}=\frac{MF}{FO}$=$\frac{1}{2}$，
∴MF=$\frac{2}{3}$，FO=$\frac{4}{3}$，AF=$\sqrt{A{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∵OE∥MA，OM=0C=2，
∴AE=EC=$\frac{1}{2}$AC①得证，
∵AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，BC=2$\sqrt{5}$
∴AE=$\sqrt{5}$，BF=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{AE}{BC}$，
∵∠EAF=∠CBF，
∴△AEF∽△BCF，
∴∠AEF=∠BCF，
∵∠BCF+∠OCE=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠BCF=∠OEC=∠AEF，
∴∠CEB=∠AEF②得证．
（3）如图2中，作AM⊥OC于M，
∵∠ACM+∠BCO=90°，∠ACM+∠MAC=90°，
∴∠MAC=∠BCO，
在△ACM和△CBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠BCO}\\{∠AMC=∠BOC=90°}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△CBO，
∴CM=BO，
∵∠ADO=∠DOM=∠AMO=90°，
∴四边形ADOM是矩形，
∴AD=OM，
∴$\frac{CO-AD}{OB}$=$\frac{CO-OM}{BO}$=$\frac{BO}{BO}$=1．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定等知识，解题的关键的第二个问题利用两边成比例夹角相等两个三角形相似，解决了角相等问题，题目难度比较大，属于中考压轴题．