Question

11．如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH上的中点，求证：MA⊥BC．

Answer 1

分析 延长AM到N使MN=AM，如图，先证明△AMF≌△NMB得到∠MAF=∠N，AF=NH，再证明∠BAC=∠AHN，接着证明△ABC≌△HNA得到∠ACB=∠HAN，然后证明∠ADC=90°，从而得到结论．

解答 证明：延长AM到N使MN=AM，如图，
∵M为FH上的中点，
∴FM=HM，
在△AMF和△NMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=NM}\\{∠AMF=∠NMH}\\{FM=HM}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△NMB，
∴∠MAF=∠N，AF=NH，
∵四边形ABEF和四边形ACGH为正方形，
∴AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，
∴∠FAH+∠BAC=180°，HN=AB，
∴∠N+∠NAH+∠BAC=180°，
∵∠N+∠NAH+∠AHN=180°，
∴∠BAC=∠AHN，
在△ABC和△HNA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=HN}\\{∠BAC=∠BHA}\\{AC=HA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△HNA，
∴∠ACB=∠HAN，
∵∠HAN+∠CAD=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．解决本题的关键是构造△AHN与△CBA全等．