Question

3．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°，对角线BD交AE于点M，交AF于点N．若AB=4$\sqrt{2}$，BM=2，则MN的长为$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 延长BC到G，使BG=DF连接AG，在AG截取AH=AN，连接MH、BH，证得Rt△ABG≌Rt△ADF，△AMN≌△AMH，△DFN≌△BGH，△AEF≌△AEG，最后利用等量代换求得答案即可．

解答 解：如图，延长BC到G，使BG=DF连接AG，在AG截取AH=AN，连接MH、BH．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠4=∠5=45°，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在RT△ABG和RT△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADF=90°}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△ADF（SAS），
∴∠1=∠2，∠7=∠G，AF=AG，
∴∠GAE=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AMN和△AMH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AH}\\{∠MAN=∠MAH=45°}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AMH（SAS），
∴MN=MH，
∵AF=AG，AN=AH，
∴FN=AF-AN=AG-AH=GH，
在△DFN和△BFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=BG}\\{∠7=∠G}\\{FN=GH}\end{array}\right.$，
∴△DFN≌△BGH（SAS），
∴∠6=∠4=45°，DN=BH，
∴∠MBH=∠ABH+∠5=∠ANG-∠6+∠5=90°-45°+45°=90°
∴BM²+DN²=BM²+BH²=MH²=MN²，
∵BD=$\sqrt{2}$AB=8，
∴2²+（8-2-MN）²=MN²，
∴MN=$\frac{10}{3}$．
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 此题考查正方形的性质以及三角形全等的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．