Question

20．已知，如图?ABCD中，AB=5，BP平分∠ABC，CE⊥AB，垂足为E点，交BP于F点，若tan∠PFC=$\frac{4}{3}$，则BP=8．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质和角平分线定义得出∠ABP=∠APB，证出AP=AB=5，过P作PG⊥AB于G，则PG∥CE，由平行线的性质得出∠BPG=∠BFE=∠PFC，得出tan∠PFC=tan∠BPG=$\frac{4}{3}$，设AG=x，则BG=5+x，GP=$\frac{3}{4}$（5+x），在Rt△APG中，由勾股定理得出方程，解方程得出GP=$\frac{24}{5}$，BG=$\frac{32}{5}$，在Rt△BPG中，由勾股定理即可得出结果BP的长．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠CBP，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB=5，
过P作PG⊥AB于G，如图所示：
则PG∥CE，
∴∠BPG=∠BFE=∠PFC，
∴tan∠PFC=tan∠BPG=$\frac{4}{3}$，
设AG=x，则BG=5+x，GP=$\frac{3}{4}$（5+x），
在Rt△APG中，AG²+GP²=AP²，
即x²+[$\frac{3}{4}$（5+x）]²=5²，
解得：x=$\frac{7}{5}$，
∴GP=$\frac{24}{5}$，BG=$\frac{32}{5}$，
在Rt△BPG中，BP=$\sqrt{B{G}^{2}+G{P}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{32}{5}）^{2}+（\frac{24}{5}）^{2}}$=8；
故答案为：8．

点评 本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．