Question

4．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D为AC的中点，E为斜边AB上一点，当AE=5或$\frac{7}{5}$时，BC=2DE．

Answer 1

分析 先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，再分两种情况进行讨论：①由D为AC的中点，根据三角形中位线定理可知当E为AB中点时，有BC=2DE，易求此时AE=$\frac{1}{2}$AB=5；②作DF⊥AB于F，在线段AF上截取FE′=FE，根据线段垂直平分线的性质得出DE′=DE，即此时BC=2DE′．先证明△AFD∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例求出AF=$\frac{16}{5}$，进而求出AE′．

解答 解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10．
①∵D为AC的中点，E为斜边AB上一点，
∴当E为AB中点时，DE是△ABC的中位线，有BC=2DE，
此时AE=$\frac{1}{2}$AB=5；
②作DF⊥AB于F，在线段AF上截取FE′=FE，则DF为线段EE′的垂直平分线，有DE′=DE，即此时BC=2DE′．
在△AFD与△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠A}\\{∠AFD=∠C=90°}\end{array}\right.$，
∴△AFD∽△ACB，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{AF}{8}$=$\frac{4}{10}$，
∴AF=$\frac{16}{5}$，
∴EF=AE-AF=5-$\frac{16}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∴E′F=EF=$\frac{9}{5}$，
∴AE′=AF-E′F=$\frac{16}{5}$-$\frac{9}{5}$=$\frac{7}{5}$．
综上可知，当AE=5或$\frac{7}{5}$时，BC=2DE．
故答案为5或$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质．进行分类讨论、利用数形结合是解题的关键．