Question

9．如图，CD为⊙O的直径，P是CD延长线上一点，PA为⊙O的切线，点A为切点，过A点作AB⊥PC，交PC于E，交⊙O于B，连结PB．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）若AB=$2\sqrt{3}$，CE=3，求线段PO的长，及弓形ADB的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OA、OB，先求出PA=PB，再由切线的性质得出∠OAP=90°，证出∠OBP=90°即可得出结论；
（2）设OA=x，在Rt△OAE中，根据勾股定理列出方程，解方程求出半径，再求出∠AOB，弓形ADB的面积=S_扇形OABD-S_△AOB．

解答 （1）证明：连接OA、OB，如图所示：
∵CD为⊙O的直径，AB⊥PC，
∴AE=BE，
∴PA=PB，
∴∠PAE=∠PBE，
∵OA=OB，
∴∠1=∠2，
∵PA为⊙O的切线，点A为切点，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，
即∠1+∠PAE=90°，
∴∠2+∠PBE=90°，
即∠OBP=90°，
∴PB与⊙O相切；
（2）设OA=x，
∵AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，OE=CE-OC=3-x，OE²+AE²=OA²，
∴（3-x）²+（$\sqrt{3}$）²=x²，
解得：x=2，
∴OA=2，
∴OE=1，
∴∠1=∠2=30°，
∴∠AOB=120°，
∴弓形ADB的面积=S_扇形OABD-S_△AOB
=$\frac{120}{360}π•{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$AB•OE
=$\frac{4}{3}π$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1
=$\frac{4}{3}π$-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、扇形面积的计算依据弓形面积的计算方法；熟练掌握切线的判定与性质，用勾股定理求出半径是解决问题的关键．