Question

14．如图，直线y=kx+2（0＜|k|≤1）分别与坐标轴交于A，B两点，等边△MNO关于y轴对称，点M（-1，$-\sqrt{3}$），P是直线AB上的动点．∠MAN度数为30°，当∠MPN=∠MAN时，点P的坐标为$（\frac{-4k}{{k}^{2}+1}，\frac{2-2{k}^{2}}{{k}^{2}+1}）$ （A点除外）．

Answer 1

分析 首先求出OA、OM、ON的长和∠MON的度数，进而可知点A、M、N在以O为圆心，2为半径的圆上，利用圆周角定理可求出∠MAN的度数，然后由∠MPN=∠MAN，利用圆周角定理可知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，进而连接OP，过点P作PH⊥x轴与H，并设P点的坐标为（m，km+2），再利用勾股定理可知OM²+PH²=OP²，据此求出m，即可得到点P的坐标．

解答 解：∵直线y=kx+2与y轴交于点A，
∴A（0，2），OA=2，
∵等边△MNO关于y轴对称，点M（-1，$-\sqrt{3}$），
∴∠MON=60°，OM=ON=2，
∴点A、M、N在以O为圆心，2为半径的圆上，
∴∠MAN=$\frac{1}{2}$∠MON=30°；
∵P是直线AB上的动点，∠MPN=∠MAN=30°，
∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上，
如图，连接OP，过点P作PH⊥x轴与H，则OP=2，
设P点的坐标为（m，km+2），则OH=|m|，PH=|km+2|，
∴OM²+PH²=OP²，即|m|²+|km+2|²=2²，
解得m=$\frac{-4k}{{k}^{2}+1}$，
∴km+2=$\frac{2-2{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
∴点P的坐标为$（\frac{-4k}{{k}^{2}+1}，\frac{2-2{k}^{2}}{{k}^{2}+1}）$，
故答案为：30°；$（\frac{-4k}{{k}^{2}+1}，\frac{2-2{k}^{2}}{{k}^{2}+1}）$．

点评 本题考查了一次函数的综合应用，勾股定理的应用，圆周角定理，等边三角形的性质等知识，具有一定的综合性，熟练掌握有关的各个定理并正确作出辅助线是解答本题的关键．