Question

2．如图所示，平面直角坐标系中，直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$分别交x轴，y轴于点A、B，OC⊥AB于点C，D是AB的中点，动点P从点B出发，沿折线BD→DO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动； 同时动点Q从点D出发沿折线DO→OA方向以相同的速度运动．设点P的运动时间为t秒，当点P到达O点时P、Q同时停止运动．
（1）线段OD的长为2，线段OC的长为$\sqrt{3}$；
（2）设△DPQ的面积为S，在整个运动过程中，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）如图2所示，当点P在DO上，点Q在OA上运动时，PQ与OC交于点E，当△OPE为等腰三角形时，直接写出相应的t值．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$分别交x轴，y轴于点A、B，求出A与B点的坐标，得出AB的值，再根据D是AB的中点，即可求出OD的值；（2）过Q作QE⊥AB于E，可得QE∥OC，再由平行线分线段成比例定理，得到比例式$\frac{QE}{OC}=\frac{DQ}{DO}$，利用比例式将线段QE用含t的代数式表示，再根据S_△DPQ=$\frac{1}{2}$DP•QE，即可求得S与t的函数关系式；（3）要使△OPE为等腰三角形，需分情况讨论：当PE=OE时，可得PQ∥OB，得出t-2=$\frac{1}{2}$（4-t），求出t的值；当OP=OE时，根据∠COD=30°，求出∠PQO=45°，过P作PF⊥OA，得出PF=QF，根据PF=cos30°×OP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t），QF=t-2-$\frac{1}{2}$（4-t），得出t-2-$\frac{1}{2}$（4-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t），求出t的值；当PO=PE时，得∠POE=∠PEO=30°，得出PE∥OA，此时△POE不存在，从而求出△OPE为等腰三角形时，t的值．

解答 解：（1）∵直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$分别交x轴，y轴于点A、B，
∴令x=0得，y=2$\sqrt{3}$，令y=0得，-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$=0，解得，x=2，
∴点B的坐标为：（0，2$\sqrt{3}$），点A的坐标为：（2，0），
∴线段OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4，
∵D是AB的中点，
∴OD是直角三角形AOB的斜边上的中线，
∴OD=2；
∵Rt△AOB，OC⊥AB，
∴AB•OC=AO•BO，
4OC=2$\sqrt{3}$×2，
∴OC=$\sqrt{3}$；
（2）过Q作QE⊥AB于E，如图1
∵OC⊥AB于点C，
∴QE∥OC，∴$\frac{QE}{OC}=\frac{DQ}{DO}$，
∵动点P从B出发沿折线BD→DO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，
动点Q从点D出发沿折线DO→OA方向以相同的速度运动，
∴DP=BD-BP=2-t，DQ=t，
∵OC=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{QE}{\sqrt{3}}=\frac{t}{2}$，
∴QE=$\frac{\sqrt{3}t}{2}$，
∴S_△DPQ=$\frac{1}{2}$DP•QE=$\frac{1}{2}$（2-t）•$\frac{\sqrt{3}t}{2}$=-$\frac{{\sqrt{3}t}^{2}}{4}$+$\frac{\sqrt{3}t}{2}$（0＜t≤2）．
（3）∵OD=0A=AD=2，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=∠ADO=∠OAD=60°，
∴∠BOD=∠OBD=30°，
∵OC⊥AB于点C，
∴∠POE=30°，
①当PE=OE时，∠POE=∠OPE=30°
∴∠BOD=∠OPE，
∴PQ∥OB，
∴PQ⊥x轴，
∴OQ=$\frac{1}{2}$OP，即t-2=$\frac{1}{2}$（4-t），
∴t=$\frac{8}{3}$，
②当OP=OE时，∠OPE=∠OEP，
∵∠COD=30°，
∴∠OPQ=75°，
∴∠PQO=45°，
过P作PF⊥OA，
∴PF=QF，∠OPF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$（4-t），
∵PF=cos30°×OP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t），
QF=t-2-$\frac{1}{2}$（4-t），
∴t-2-$\frac{1}{2}$（4-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t），
∴t=$\frac{2\sqrt{3}+6}{3}$，
③当PO=PE时，得∠POE=∠PEO=30°，
则PE∥OA，
此时△POE不存在，
所以此情况不成立，
综上当t=$\frac{8}{3}$或t=$\frac{2\sqrt{3}+6}{3}$时，△OPE为等腰三角形．

点评 本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，利用三角形的面积列函数关系式，直角三角形的性质，等腰三角形的性质、解直角三角形，能运用数形结合的思想和分类讨论的思想及综合运用所学是解题的关键．