Question

19．如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．
（1）求证：△AEM∽△BCE；
（2）若AB=10，BC=8，求四边形ABCM的面积．

Answer 1

分析 （1）如图，首先证明∠A=∠B=90°，证明∠MEC=90°；其次证明∠AME=∠BEC，即可解决问题．
（2）如图，首先求出BE=6，得到AE=4；证明ME=MD（设为λ），运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ；求出△CDM的面积，即可解决问题．

解答 解：（1）如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°；
由题意得：∠CEM=∠D=90°，
∴∠AME+∠AEM=∠AEM+∠BEC，
∴∠AME=∠BEC，
∴△AEM∽△BCE．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=10；由题意得：
CE=CD=10；由勾股定理得：
BE²=CE²-BC²，而BC=8，
∴BE=6，AE=10-6=4；
由题意得：ME=MD（设为λ），则AM=8
由勾股定理：λ²=4²+（8-λ）²，
解得：λ=5，
∴S_ABCM=S_ABCD-S_△CDM
=10×8-$\frac{1}{2}$×10×5
=80-25=55．
即四边形ABCM的面积=55．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是深入观察图形，准确找出图形中隐含的相等或相似关系；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质等几何知识点来分析、判断、解答．