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【题目】如图,在中, 的垂直平分线分别与 的延长线相交于点 ,且. ⊙O是的外接圆, 的平分线交于点,交⊙O于点,连接 .

(1)求证:

(2)试判断与⊙O的位置关系,并说明理由;

(3)若, 求的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)相切. 理由见解析;(3).

【解析】试题分析:

(1)两个三角形都是直角三角形,有一条直角边相等,只需要得到另一组对应角相等即可;

(2)连接OB设法结合(1)的结论得到DBC=OBC,证明DBO=90°

(3)由△HFB与△HBF是一对相似三角形,得到,而△HEF是一个等腰直角三角形,则需要求EF的长,在直角△BEFBE=AB=1,故要求BF的长,又BF=BCBC=BE+CECE=AE,在直角△ABE中求得AE的长.

试题解析:

(1)∵DFAC,△ABCRt△,

∴∠CED=∠FEB .

ABC=∠EBFRt∠,

,∴).

(2)相切. 理由如下:

连接, ∵DFAB的中垂线,∠ABC=90°,∴DBDCDA

∴∠DBC=∠C.

由(1)∠DCB=∠EFB,而∠EFB=∠OBF,∴∠DBC=∠OBF.

.∴BD与⊙O相切.

(3)连接AE.

BH是∠EBF的平分线,∴∠EBH=∠HBF=45°. ∠HFE=∠HBE=45°.

又∠GHF=∠FHB,∴△GHF∽△FHB

,∴HG·HBHF2.

∵⊙ORtBEF的外接圆,∴EF为⊙O的直径,∴∠EHF=90°,

又∠HFE=45°,∴EHHF. ∴EF2EH2HF2=2HF2

DF是线段AC的垂直平分线,∴AE=CE

又∵,∴AB=BE=1,∴AE=CE=,所以BF=BC=

由勾股定理得,

,∴.

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