Question

5．已知某商品的进价为每件40元，现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．若商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于60%，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？

Answer 1

分析 设每星期所获利润为y，然后讨论：若销售单价x元，根据一星期利润等于每件的利润×销售量分别得到y=（x-40）[300-10（x-60）]（60≤x≤90）或y=（x-40）[300+20（60-x）]（0≤x≤20），然后根据获利不得低于40%又不得高于60%求出自变量的取值范围，根据二次函数的性质即可得到答案．

解答 解：∵获利不得低于40%又不得高于60%，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-40≥40%×40}\\{x-40≤60%×40}\end{array}\right.$，
解得：56≤x≤64，
设销售单价为x元时获得的总利润为y元．
涨价时，
y=（x-40）[300-10（x-60）]（60≤x≤90）
=（x-40）（900-10x）
=-10x²+1300x-36000
=-10（x²-130x）-36000
=-10（x-65）²+6250，
当60≤x≤64时，x=64，y的最大值是6150，
降价时，
y=（x-40）[300+20（60-x）]（40≤x≤60），
=（x-40）（1500-20x）
=-20x²+2300x-60000
=-20（x-57.5）²+6125，
当56≤x≤60时，x=57.5，y的最大值是6125，
综合以上两种情况，定价为64元时可获得最大利润为6150元．

点评 本题主要考查了二次函数的应用，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键，根据自变量的取值范围运用函数的性质求最值是本题难点．