Question

18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q．设AP=x，当△APQ的面积为14$\sqrt{3}$时，则x的值为（　　）

• A． 2$\sqrt{21}$
• B． 2$\sqrt{21}$或14
• C． 2或2$\sqrt{21}$或14
• D． 2或14

Answer 1

分析 分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论表示出三角形的面积，然后根据已知的面积的值得到一元二次方程求解后根据实际意义取值即可．

解答 解：当点Q在AC上时，
∵∠A=30°，AP=x，
∴PQ=xtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
∴S=$\frac{1}{2}$×AP×PQ=$\frac{1}{2}$×x×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²=14$\sqrt{3}$
解得：x=2$\sqrt{21}$或x=-2$\sqrt{21}$（舍去），
当点Q在BC上时，如下图所示：

∵AP=x，AB=16，∠A=30°，
∴BP=16-x，∠B=60°，
∴PQ=BP•tan60°=$\sqrt{3}$（16-x）．
∴S=$\frac{1}{2}$AP×PQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}+8\sqrt{3}$x=14$\sqrt{3}$，
解得：x=2（舍去）或x=14．
故选：B．

点评 本题考查一元二次方程的应用，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况，同时分类讨论也是中考的热点考点，应加强有关训练．