Question

7．如图，已知点O为平面直角坐标系中的原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA=OB，线段AB和反比例函数y=$\frac{1}{x}$有两个不同的交点，分别是点C和点D，当$\frac{1}{4}$≤AC≤1时．线段CD的取值范围是1≤CD≤$\frac{31}{4}$．

Answer 1

分析 作CE⊥y轴于E，根据题意易得△AOB和△AEC是等腰直角三角形，解直角三角形可全等C、D的坐标，然后根据勾股定理即可求得CD，从而求得取值范围．

解答 解：作CE⊥y轴于E，
∵OA=OB，
∴△AOB和△AEC是等腰直角三角形，
当AC=$\frac{1}{4}$时，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，
∴C（$\frac{\sqrt{2}}{8}$，4$\sqrt{2}$），
∴D（4$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{8}$），
∴CD=$\sqrt{2（4\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{8}）^{2}}$=$\frac{31}{4}$，
当AC=1时，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$），
∴D（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴CD=$\sqrt{2（\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=1，
∴CD的取值范围是1≤CD≤$\frac{31}{4}$．
故答案为1≤CD≤$\frac{31}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，求得C、D的坐标是解题的关键．