Question

【题目】如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到正方形AEGF(AE＝EG＝GF＝AF,∠EAF＝∠E＝∠F＝∠G=90°)．

(1) 若AD＝6，BD＝2，求CG的长．

(2) 设BG＝a,CG＝b,BC＝c.

①AE=_______.(用a、b、c表示)

②利用正方形面积验证勾股定理．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①；②详见解析.

【解析】

（1）由折叠性质可得：AD=AE=6,BD=BE=2,CD=CF,AD=AE=AF,再根据勾股定理，在直角三角形BCG中求解；（2）①根据折叠性质得：AE=；②根据正方形面积=SBCG+ 2SABD+ 2SACD可得.

解：（1）由折叠性质可得：AD=AE=6,BD=BE=2,CD=CF,AD=AE=AF,

设CG=x，

因为四边形AEGF是正方形，

所以GE=AE=AD=GF=6,CD=6-x

在直角三角形BCG中，

由BG2+CG2=BC2，得

42+x2=（2+6-x）2

解得x=3

所以CG=3;

（2）①由（1）可得AE=EG=GF,EG=BE+BG=BD+BG;GF=CG+CF=CG+CD;

所以AE=；

②由正方形面积=SBCG+ 2SABD+ 2SACD可得

整理，得