Question

如图在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．BC=10，S_△FCD=5．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）求S_△ABC；
（3）求ED的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠B=∠ECD；证明∠ADC=∠ACD，即可解决问题．
（2）设△FDC、△ABC的面积分别为λ、μ．由△ABC∽△FCD，得到

λ

μ

=(

DC

BC

)2，结合BC=2DC，λ=5，求出μ即可解决问题．
（3）直接运用三角形的面积公式即可解决问题．

解答：解：（1）∵BD=CD，DE⊥BC，
∴BE=CE，∠B=∠ECD；
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴△ABC∽△FCD．
（2）设△FDC、△ABC的面积分别为λ、μ．
∵△ABC∽△FCD，
∴

λ

μ

=(

DC

BC

)2，而BC=2DC，λ=5，
∴μ=20，即S_△ABC的值为20．
（3）∵μ=

1

2

BC•DE，而μ=20，BC=10，
∴DE=4．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入观察探究命题图形结构特点，灵活选用有关定理来分析、推理或解答．