Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；…，
（1）按以上规律，则

1

n(n+1)

=

 

；
（2）求

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

的值；
（3）探究并解方程：

1

x(x+2)

+

1

(x+2)(x+4)

+

1

(x+4)(x+6)

=

3

2x+12

．

Answer 1

考点：分式的加减法

专题：规律型

分析：（1）首先发现，分子都是1，分母是连续两个自然数的乘积，计算的结果就是以这两个自然数为分母，分子是1的两个分数的差；由此解决（1）；再利用规律把（2）中的分数拆成两个分数的差，把互为相反数的互相抵消，得出答案即可．
（2）、（3）利用（1）中的规律进行解题．

解答：解：（1）∵

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；…，
∴

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
故答案是：

1

n

-

1

n+1

．

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）

1

x(x+2)

+

1

(x+2)(x+4)

+

1

(x+4)(x+6)

=

3

2x+12

，

1

x

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+4

+

1

x+4

-

1

x+6

=

3

2x+12

，

1

x

-

1

x+6

=

3

2x+12

，
2（x+6）-2x=3x，
3x=6，
x=2．
经检验x=2是原方程的解．
故原方程的解为：x=2．

点评：此题考查数字的规律，发现数字之间的联系，找出规律，解决问题．