Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若OB=5，CD=4，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）6

【解析】分析：（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODC为直角，即可得证；

（2）过O作OM垂直于BE，可得出四边形ODCM为矩形，在直角三角形OBM中，利用勾股定理求出BM的长，由垂径定理可得BE=2BM．

详解：（1）连接OD．

∵OD=OB，∴ ∠OBD=∠ODB．

∵BD是∠ABC的角平分线，∴ ∠OBD=∠CBD．

∵ ∠CBD=∠ODB，∴OD∥BC．

∵∠C=90，∴∠ODC=90，∴ OD⊥AC．

∵点D在⊙O上，

∴ AC是⊙O的切线．

（2）过圆心O作OMBC交BC于M．

∵BE为⊙O 的弦，且OMBE，∴BM=EM，

∵∠ODC=∠C=∠OMC= 90° ，

∴四边形ODCM为矩形，则OM=DC=4．

∵ OB=5，∴BM==3=EM，

∴BE=BM+EM=6．