Question

【题目】如图，AC切⊙O于点C，AB过圆心O交⊙O于点B、D，且AC=BC，若⊙O的半径为2，图中阴影部分的面积为 _____________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接OC，由AC切⊙O于点C，可得OC⊥AC，然后设∠A=x°，由AB=AC以及圆周角定理，可得∠B=x°，∠AOC=2x°；再连接CD，易得△OCD是等边三角形．继而可由S阴影=S△ACO-S扇形ODC求得答案．

连接OC．

∵AC切⊙O于点C，
∴OC⊥AC．
∴∠ACO=90°，
设∠A=x°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=x°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=x°．
∴∠AOC=∠OCB+∠B=2x°．
在Rt△ACO中，
∵∠A+∠AOC=90°，
∴x+2x=90．
∴x=30．
即∠A=30°．

连接DC．
在Rt△ACO中，∠AOC=90°-∠A=60°．
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形．
∴CD=OD=2，∠AOC=60°．
∵BD是直径，
∴∠DCB=90°，BD=4．
由勾股定理得BC=2．
∴AC=BC=2．
∴S△ACO=ACOC=2，
S扇形ODC=π22=π，
∴S阴影=S△ACO-S扇形ODC=2-π．

故答案为：.