Question

【题目】已知是边长为的等边三角形，点是射线上的动点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.

(1)如图1，猜想是什么三角形？ ______；(直接写出结果)

(2)如图2，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)当为何值时，，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）等边三角形；（2）AC+CD=CE，理由见详解；（3）BD为2或8时，∠DEC=30°，理由见详解.

【解析】

（1）根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=60°，根据等边三角形的判定定理解答；

（2）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，结合图形计算即可；

（3）根据题意，分为点D在线段BC上和点D在线段BC的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；

解：（1）由旋转变换的性质可知，AD=AE，∠DAE=60°，

∴△ADE是等边三角形，

故答案为：等边三角形；

（2）AC+CD=CE，

证明：由旋转的性质可知，∠DAE=60°，AD=AE，

∵△ABC是等边三角形

∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，

∴∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE，

∴CE=BD=CB+CD=CA+CD；

（3）BD为2或8时，∠DEC=30°，

当点D在线段BC上时，

∵∠DEC=30°，∠AED=60°，

∴∠AEC=90°，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，又∠B=60°，

∴∠BAD=30°，

∴BD=AB=2；

当点D在线段BC的延长线上时，

∵∠DEC=30°，∠AED=60°，

∴∠AEC=30°，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=30°，又∠B=60°，

∴∠BAD=90°，

∴BD=2AB=8，

∴BD为2或8时，∠DEC=30°；