Question

4．已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）
（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；
（3）作点F关于点M的对称的F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，当1＜t＜2时，若以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似，求t值．

Answer 1

分析 （1）连接PM，PN，由切线的性质得PM⊥MF，PN⊥ON，由P（1，1）得PM=PN，利用全等三角形的判定定理得△PMF≌△PNE，得出结论PF=PE．
（2））利用分类讨论的思想，①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，利用（1）中的结论，由全等三角形的性质得，NE=MF=t，PM=PN=1，数形结合用t分别表示OE=a，OF=b，消去t可得a，b的关系；②0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证△PMF≌△PNE，数形结合用t分别表示OE=a，OF=b，消去t可得a，b的关系；
（3）由点对称的性质得F（1+t，0），F′（1-t，0），由经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q得Q（1-$\frac{1}{2}$t，0），OQ=1-$\frac{1}{2}$t，由△PMF≌△PNE得NE=MF=t，OE=t-1，利用相似三角形的性质分类讨论得出结论．

解答 （1）证明：如图1，连接PM，PN，
∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°
∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°-∠MPE
在△PMF和△PNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NPE=∠MPF}\\{PN=PM}\\{∠PNE=∠PMF}\end{array}\right.$，
∴△PMF≌△PNE（SAS），
∴PE=PF．

（2）①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，
由（1）得△PMF≌△PNE，
∴NE=MF=t，PM=PN=1，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=NE-ON=t-1，
∴b-a=1+t-（t-1）=2，
∴b=2+a，
②0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，如图2，
同理可证△PMF≌△PNE
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON-NE=1-t，
∴b+a=1+t+1-t=2，∴b=2-a；      

（3）如图3或图4，当1＜t＜2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，
∴F′（1-t，0），
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1-$\frac{1}{2}$t，0），
∴OQ=1-$\frac{1}{2}$t，
由（1）得△PMF≌△PNE，
∴NE=MF=t，
∴OE=t-1，
当△OEQ∽△MPF时，$\frac{OE}{OP}=\frac{OQ}{MF}$，
∴$\frac{t-1}{1}=\frac{1-\frac{1}{2}t}{t}$，
∴t=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，
当△OEQ∽△MFP时，$\frac{OE}{MF}=\frac{OQ}{MP}$，
∴$\frac{t-1}{t}=\frac{1-\frac{1}{2}t}{1}$，
∴t=$\sqrt{2}$，
∴当t=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，或t=$\sqrt{2}$时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．

点评 本题主要考查了切线定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质，利用数形结合，分类讨论的思想是解答此题的关键．