Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2，点Q为BC的中点，P为边AC上一动点，求△PBQ周长的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：作Q关于AC的对称点D，连接PQ，CD，则AC垂直平分QD，可得PQ=PD，CQ=CD，即可求得∠BCD=90°，根据勾股定理可得BD²=BC²+CD²，即可求得BD的值，即可解题．

解答：解：作Q关于AC的对称点D，连接PQ，CD，

则AC垂直平分QD，
∴PQ=PD，CQ=CD=

1

2

BC=1，∠DCP=∠QCP，
∵△ABC为等腰直角三角形，AB=BC，
∴∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴BD²=BC²+CD²=5，
∴BD=

5

，
∴△PBQ周长的最小值=BQ+BP+PQ=BQ+BD=1+

5

．
答：△PBQ周长的最小值为1+

5

．

点评：本题考查了最短路线问题，考查了轴对称和垂直平分线的性质，本题中求得BD的长是解题的关键．