Question

已知如图△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°，△ABD∽△DCE．当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=AE，AD=DE，AE=DE三种情况讨论．

解答：解：分三种情况：
①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意；
②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，
于是AB=AC=1，BC=

2

，AE=AC-EC=1-BD=1-（

2

-1）=2-

2

；
③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如图所示，
易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．
由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=

1

2

AC=

1

2

．
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2-

2

或

1

2

．

点评：此题考查了相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．