Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；
（3）在线段BC上是否存在一点P，使△ABP∽△CBA？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将点A的坐标（﹣1，0），点C的坐标（0，﹣3）代入抛物线解析式得：

，

解得： ，

故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：由（1）得：0=x2﹣2x﹣3，

解得：x1=﹣1，x2=3，故B点坐标为：（3，0），

设直线BC的解析式为：y=kx+d，

则 ，

解得： ，

故直线BC的解析式为：y=x﹣3，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴BO=OC=3，

∴∠ABC=45°

（3）

解：存在一点P，使△ABP∽△CBA

连接AP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D，

∵△ABP∽△CBA，

∴ = ，

∵BO=OC=3，

∴BC=3 ，

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=4，

∴ = ，

解得：BP= ，

由题意可得：PD∥OC，

∴DB=DP= ，

∴OD=3﹣ = ，

则P（ ，﹣ ）

【解析】（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）首先求出B点坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求∠ABC的度数；（3）利用相似三角形的性质得出BP的长，再求出OD的长进而得出答案．