Question

18．已知直线y=2x-10与直线y=$\frac{3}{4}$x相交于点A，与x轴相交于点B．
（1）求△OAB的面积．
（2）若OC平分∠AOB交AB于C，在OA上截取OD=OB，连接CD，
①证明：△OCD≌△OCB；
②求△OAC的面积；
③求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）联立两函数解析式可求得A点坐标，再由y=2x-10可求得B点坐标，则可求得△OAB的面积；
（2）①由角平分线的定义，结合条件可证明△OCD≌△OCB；
②由全等可求得OB=OD=5，且OA=10，则可求得OD=DA，则S_△OCD=S_△ACD=S_△OCB，可求得△OAC的面积；
③过点C分别做CM⊥x轴，CN⊥OA，垂足分别为点M、N，利用三角形的面积可求得CN，则可求得CM，可求得C点坐标．

解答 解：
（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-10}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴A（8，6），
∴OA=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
在y=2x-10中，令y=0可得2x-10=0，解得x=5，
∴B（5，0），
∴OB=5，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×5×6=15；
（2）①证明：
∵OC平分∠AOB，
∴∠COD=∠COB，
在△OCD和△OCB中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠COD=∠COB}\\{OC=OC}\end{array}\right.$
∴△OCD≌△OCB（SAS）；
②∵OB=OD=5，且OA=10，
∴OD=DA=5，
∴S_△OCD=S_△ACD=S_△OCB=$\frac{1}{3}$S_△OAB=5，
∴S_△OAC=2S_△OCD=10；
③如图，过点C分别做CM⊥x轴，CN⊥OA，垂足分别为点M、N，

∵S_△OAC=$\frac{1}{2}$×OA×CN=10，
∴CN=CM=2，即点C的纵坐标为2，
当y=2时，2=2x-10，解得x=6，
∴C（6，2）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、勾股定理、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识点．在（1）中求得A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中注意角平分线的定义和性质的应用是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．