Question

【题目】如图1，在ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点．tanB＝2．

（1）求证：AD＝AE；

（2）如图2．点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF．线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？并说明理由；

（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC，上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？请在图3中补全图形，直接写出结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DF﹣EF＝AF，见解析；（3）①当EP在线段BC上时，有DF﹣EF＝AF，②当点F在PD上，DF+EF＝AF，③当点F在PD的延长线上，EF﹣DF＝AF，见解析.

【解析】

（1）首先根据∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得证．

（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作GA⊥AF，交BD于G，通过证△AFE≌△AGD，来得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得证．

（3）辅助线作法和解法同（2），只不过结论有所不同而已．

（1）证明：如图1中，

∵tanB＝2，

∴AE＝2BE；

∵E是BC中点，

∴BC＝2BE，

即AE＝BC；

又∵四边形ABCD是平行四边形，则AD＝BC＝AE；

（2）证明：作AG⊥AF，交DP于G；（如图2）

∵AD∥BC，

∴∠ADG＝∠DPC；

∵∠AEP＝∠EFP＝90°，

∴∠PEF+∠EPF＝∠PEF+∠AEF＝90°，

即∠ADG＝∠AEF＝∠FPE；

又∵AE＝AD，∠FAE＝∠GAD＝90°﹣∠EAG，

∴△AFE≌△AGD，

∴AF＝AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF＝DG；

∴FG＝AF，且DF＝DG+GF＝EF+FG，

故DF﹣EF＝AF；

（3）解：如图3，

①当EP在线段BC上时，有DF﹣EF＝AF，

证明方法类似（2）．

②如图3﹣1中，点F在PD上，DF+EF＝AF．

理由：将△AEF绕点A逆时针旋转90°得到△ADG

∴△AEF≌△ADG，

同（1）可得：DG＝EF，AG＝AF，

GF＝AF，

则EF+DF＝AF．

③如图3﹣2，点F在PD的延长线上，EF﹣DF＝AF，

证明方法类似（2）．