Question

【题目】如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD=∠A.

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若BC=5，BD=3，求点O到CD的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OE=

【解析】

（1）根据圆周角定理得到∠ADC=90°，得到∠A+∠ACD=90°，求得∠ACB=90°，于是得到结论；
（2）过O作OE⊥CD于E，根据相似三角形的性质得到，根据垂径定理得到E为CD的中点，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．

（1）证明：∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=90°

∠A+∠ACD=90°，

∵∠BCD=∠A，

∴∠BCD+∠ACD=90°

∴∠ACB=90°，

∴OC⊥BC，

∵OC是⊙O的半径，

∴BC是⊙O的切线.

（2）解：过点O作OE⊥CD于点E，如图所示

在Rt△BCD中，

∵BC=5，BD=3，

∴CD=4

∵∠ADC=∠CDB=90°，∠BCD=∠A.

∴Rt△BDC∽Rt△CDA.

∴，

∴

∵OE⊥CD，

∴E为CD的中点

又∵点O是AC的中点，

∴OE=

∴点O到CD的距离是