Question

4．如图，在四边形ABCD中，CA平分∠DCB，∠ADC=∠BAC=90°．
（1）求证：AC²=BC•DC；
（2）若BC=5，DC=1，求线段AD的长．

Answer 1

分析 （1）由CA平分∠DCB，可推得∠ACB=∠ACD，又由于∠ADC=∠BAC，可证得△ABC∽△DAC，根据相似三角形的性质即可推出结论；
（2）由（1）可推出AC²=5×1=5，根据勾股定理可求AD．

解答 （1）证明：∵CA平分∠DCB，
∴∠ACB=∠ACD，
∵∠ADC=∠BAC=90°，
∴△ABC∽△DAC，
$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{AC}$，
∴AC²=BC•DC；

（2）解：由（1）知，AC²=BC•DC，
∵BC=5，DC=1，
∴AC²=5×1=5，
∵∠ADC=90°，
AD=$\sqrt{A{C}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{5-{1}^{2}}$=2．

点评 本题主要考查了角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．