Question

14．在△ABC中，AB=BC，平面内取点D，连接AD，作AE⊥AD，且使得∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ABC=α．连接CD，取其中点M．
（1）如图1，当α=45°时，绕点A旋转△ADE使得点E落在AB上，探索BM、CE之间的关系，并证明你的结论；
（2）如图2，探索BM、CE的关系，并证明你的结论（数量关系用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）延长BM交DA延长线于点G，根据已知条件得到ADE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，求得∠ABC=90°，推出DA∥BC，根据平行线的性质得到∠ADM=∠BCM，推出△DAM≌△CBM，于是得到DG=BC=AB，BM=GM，求出AG=BE，证得△ABG≌△BCE，根据全等三角形的性质得到BG=CE，等量代换即可得到结论；
（2）过点B作BG⊥AC于点G，连接MG，根据已知条件得到MG=$\frac{1}{2}$AD，MG∥AD，由平行线的性质得到∠MGC=∠DAC，求得tanα=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AG}{BG}$，求得$\frac{AE}{GM}=\frac{AC}{BG}$，推出∠EAC=∠BGM，证得△ACE∽△BMG，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）BM=$\frac{1}{2}$CE；
延长BM交DA延长线于点G，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90°，
∵∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∴∠ABC=90°，
∴DA∥BC，
∴∠ADM=∠BCM，
在△DAM与△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDM=∠BCM}\\{∠DMG=∠BMC}\\{DM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DGM≌△CBM，
∴DG=BC=AB，BM=GM，
∵AD=AE，
∴AG=BE，
在△ABG与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=BE}\\{∠GAB=∠EBC=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCE，
∴BG=CE，
∴BM=$\frac{1}{2}$CE；

（2）过点B作BG⊥AC于点G，连接MG，
∵AB=BC，
∴$∠ABG=\frac{1}{2}∠ABC=∠ADE=α$，AG=CG，
∵DM=CM，
∴MG=$\frac{1}{2}$AD，MG∥AD，
∴∠MGC=∠DAC，
∵tanα=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AG}{BG}$，
∴$\frac{AE}{2GM}=\frac{\frac{1}{2}AC}{BG}$，
∴$\frac{AE}{GM}=\frac{AC}{BG}$，
∵∠DAC+∠CAE=∠BGM+∠MGC=90°，
∴∠EAC=∠BGM，
∴△ACE∽△BMG，
∴$\frac{BM}{CE}$=$\frac{AE}{MG}$=$\frac{AE}{\frac{1}{2}AD}$=1：2tanα．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．