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    7．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．
    （1）求证：该方程有两个实数根；
    （2）如果抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；
    （3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在-3≤x≤-$\frac{1}{2}$之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．

    分析 （1）先求出根的判别式△，判断△的取值范围，即可得证；
    （2）根据求根公式表示出两根，由题意，求出m的值，可得抛物线的解析式；
    （3）点求出点A，B，C，D的坐标，根据待定系数法求出直线CD的解析式，设平移后，点A，E的对应点分别为A′（-3+n，0），E′（-$\frac{1}{2}$+n，$\frac{5}{4}$），根据点在直线上，求出取值范围即可．

    解答 （1）证明：由根的判别式，可得：△=（3m+1）2-4×m×3=（3m-1）2，
    ∵（3m-1）2≥0，
    ∴△≥0，
    ∴原方程有两个实数根；
    （2）解：令y=0，那么mx2+（3m+1）x+3=0，
    解得：x1=-3，x2=-$\frac{1}{m}$，
    ∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数，
    ∴m=1，
    ∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3；
    （3）如图，
    ∵当x=0时，y=3，
    ∴C（0，3），
    ∵当y=0时，x1=-3，x2=-1，
    又∵点A在点B的左侧，
    ∴A（-3，0），B（-1，0），
    ∵点D与点B关于y轴对称，
    ∴D（1，0），
    设直线CD的解析式为：y=kx+b，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
    ∴直线CD的表达式为：y=-3x+3，
    又∵当x=-$\frac{1}{2}$时，y=$（-\frac{1}{2}）^{2}+4×（-\frac{1}{2}）+3=\frac{5}{4}$，
    ∴点E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$），
    ∴平移后，点A，E的对应点分别为A′（-3+n，0），E′（-$\frac{1}{2}$+n，$\frac{5}{4}$），
    当直线y=-3x+3经过点A′（-3+n，0）时，得：-3（-3+n）+3=0，解得：n=4，
    当直线y=-3x+3经过点E′（-$\frac{1}{2}$+n，$\frac{5}{4}$），时，得：-3（-$\frac{1}{2}$+n）+3=$\frac{5}{4}$，解得：n=$\frac{13}{12}$，
    ∴n的取值范围是$\frac{13}{12}$≤n≤4．

    点评 本题主要考查一元二次方程的解法，抛物线与x轴的交点及二次函数的图象的性质，熟知抛物线与x轴的交点坐标的横坐标即相应的一元二次方程的解是解决此题的关键．

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