【题目】在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+2nx+c的图象过坐标原点.
(1)若a=-1.
①当函数自变量的取值范围是-1≤x≤2,且n≥2时,该函数的最大值是8,求n的值;
②当函数自变量的取值范围是时,设函数图象在变化过程中最高点的纵坐标为m,求m与n的函数关系式,并写出n的取值范围;
(2)若二次函数的图象还过点A(-2,0),横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点,二次函数图象与直线AB围城的区域(不含边界)为T,若区域T内恰有两个整点,直接写出a的取值范围.
【答案】(1) ①n=3;② (2)
【解析】
(1)①根据已知条件可确定抛物线图象的基本特征,从而列出关于的方程,即可得解;②根据二次函数图象的性质分三种情况进行分类讨论,从而得到
与
的分段函数关系;
(2)由得正负进行分类讨论,结合已知条件求得
的取值范围.
解:(1) ∵抛物线过坐标原点
∴c=0,a=-1
∴y=-x2+2nx
∴抛物线的对称轴为直线x=n,且n≥2,抛物线开口向下
∴当-1≤x≤2时,y随x的增大而增大
∴当x=2时,函数的最大值为8
∴-4+4n=8
∴n=3.
②若
则
∴抛物线开口向下,在对称轴右侧,随
的增大而减小
∴当时,函数值最大,
;
若
则
∴此时,抛物线的顶点为最高点
∴;
若
则
∴抛物线开口向下,在对称轴左侧,随
的增大而增大
∴当时,函数值最大,
∴综上所述:
(2)结论:或
证明:∵过
∴
∴
①
∵若,直线
的解析式为
,抛物线的对称轴为直线
∴顶点为,对称轴与直线
交点坐标为
∴两个整点为,
∵不含边界
∴
∴
②
∵若,区域内已经确定有两个整点
,
∴在第三项象限和第一象限的区域内都要确保没有整点
∴
∴
∵当时,直线上的点的纵坐标为
,抛物线上的点的纵坐标为
∴
∴
∴
故答案为:(1)①;②
(2)
或
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【题目】如图所示,把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转,使得点A与CB的延长线上的点E重合.
(1)三角尺旋转了 度。
(2)连接CD,试判断△CBD的形状;
(3)求∠BDC的度数。
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【题目】如图,正方形的边长为4,延长
至
使
,以
为边在上方作正方形
,延长
交
于
,连接
、
,
为
的中点,连接
分别与
、
交于点
、
.则下列结论:①
;②
;③
;④
.其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】请你仔细观察下面一组图形,依据其变化规律推断第(5)个图形中所有正方形面积之和为____________(其中图 中出现的三角形均是直角三角形,四边形均是正方形).
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【题目】如图,△ABC的顶点坐标分别为A(0,1)、B(3,3)、C(1,3).
(1) 画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1
(2) 画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2,直接写出点C2的坐标为______.
(3) 若△ABC内一点P(m,n)绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q,则Q的坐标为______.
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【题目】熊组长准备为我们年级投资1万元围一个矩形的运动场地(如图),其中一边靠墙,另外三边选用不同材料建造且三边的总长为,墙长
,平行于墙的边的费用为200元/
,垂直于墙的边的费用150元/
,设平行与墙的边长为
.
(1)若运动场地面积为,求
的值;
(2)当运动场地的面积最大时是否会超了预算.
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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形的顶点
与原点重合,
、
分别在坐标轴上,
,
,直线
交
,
分别于点
,
,反比例函数
的图象经过点
,
.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)直接写出当时,
的取值范围;
(3)若点在
轴上,且
的面积与四边形
的面积相等,求点
的坐标.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AD=4,把边CD绕点C逆时针旋转30度得到线段CE,连接BE并延长,交AD于点F,连接DE,则线段EF的长度为________
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【题目】已知二次函数的
与
的部分对应值如下表:
-1 | 0 | 1 | 3 | |
-3 | 1 | 3 | 1 |
下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为;③当
时,函数值
随
的增大而增大;④方程
有一个根大于4.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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