Question

已知方程|x+|3x+a||=2恰有4个不同的解，求参数a的取值范围．

Answer 1

考点：含绝对值符号的一元一次方程

专题：探究型

分析：可将原方程转化为两个只含有一个绝对值符号的方程，由题可知转化后的两个方程都有2个不同的解，从而可求出x的范围；然后将方程的四个根都用a的代数式表示，再根据x的范围就可求出a的取值范围．

解答：解：由题可得：x+

.

3x+a

.

=2或x+

.

3x+a

.

=-2．
即

.

3x+a

.

=2-x①或

.

3x+a

.

=-2-x②．
∵原方程恰有4个不同的解，
∴方程①和②都有2个不同的解．
∴

2-x＞0 -2-x＞0

．
解得：x＜-2．
由①得3x+a=2-x或3x+a=x-2，解得x₁=

2-a

4

，x₂=

-2-a

2

．
∵x＜-2，∴

2-a 4 ＜-2 -2-a 2 ＜-2

．解得a＞10．
由②得3x+a=-2-x或3x+a=2+x，解得x₃=

-2-a

4

，x₄=

2-a

2

．
∵x＜-2，∴

-2-a 4 ＜-2 2-a 2 ＜-2

．解得a＞6．
综上所述：a＞10．
经检验：当a＞10时，x₁、x₂、x₃、x₄都不相同．
∴参数a的取值范围是a＞10．

点评：本题是对含绝对值的一元一次方程进行考查，主要涉及到解一元一次不等式组，而对原方程恰有4个不同的解的正确理解是解决本题的关键．