Question

【题目】知识准备:数轴上两点对应的数分别为．则两点之间的距离表示为:

问题探究:数轴上两点对应的数分别为且满足

直接写出:___、

在数轴上有一点对应的数为，请问:当点到两点的距离和为时,满足什么条件?请利用数轴进行说明(此时最小)．

拓展:当数轴上三点对应的数分别为在数轴上有一点对应的数为,当满足什么条件时,的值最小?

应用:国庆期间汉口江滩武汉关至长江二桥之间是观看“70周年国庆灯光秀”的理想区域,武汉关与长江二桥相距约公里。在国庆期间,为了服务广大市民,汉口江滩管理处在汉口江滩武汉关至长江二桥之间每隔公里安排了便民服务小组(武汉关与长江二桥不安排) ,还需要设置一个便民服务物资站,请问便民服务物资站应该设置在什么地方,使它到各个便民服务小组的距离和最小，最小值是多少公里?便民服务物资站位置代表的数记作利用下图直接给出结果:满足的条件: 最小值为 公里．

Answer 1

【答案】问题探究：（1），； （2）；拓展：当时，最小时为；应用：；4

【解析】

问题探究：
（1）根据非负数的性质可得和的值；
（2）根据绝对值的几何意义，可得当点P在AB之间（包括A，B两点），P到A点与P到B点的距离之和是6，即PA+PB最小；
拓展：点P在点A和点B（含点A和点B）之间，依此即可求解．
应用：同理根据拓展的问题，分情况即可求解．

问题探究：
（1）∵．
∴，，
∴，；
故答案为：，；
（2）如图1，

点P到A、B两点的距离和为6时，点P在AB之间（包括A，B两点），即，此时PA+PB最小；
拓展：

点P表示的数为2，该最小值为12，
设P到A、B、C的距离和为d，
则，
①当时，，
时，；
②当时，，
时，；
③当时，＞12，
④当x＞8时＞18；
综上，当点P表示的数为2时，P到A、B、C的距离和最小，最小值为12．
应用：
如图3，设便民服务物资站为点P，各便民服务小组分别为A，B，C，D，

设P到A、B、C、D的距离和为d，
则，
①当时，，
时，；
②当时，＞4，
③当时，，
④当时，＞4，
⑤当时，，
当时，；
综上，满足的条件：，最小值为4公里．
故答案为：，4．