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【题目】若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形,例如△ABC中,三边分别为abc,若满足b2ac,则称△ABC为比例三角形,其中b为比例中项.

1)已知△ABC是比例三角形,AB2BC3,请直接写出所有满足条件的AC的长;

2)如图,在四边形ABCD中,ADBC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC

①请直接写出图中的比例三角形;

②作AHBD,当∠ADC90°时,求的值;

3)三边长分别为abc的三角形是比例三角形,且b为比例中项,已知抛物线yax2+bx+cy轴交于点B,顶点为AO为坐标原点,以OB为直径的⊙M经过点A,记△OAB的面积为S1,⊙M的面积为S2,试问S1S2的值是否为定值?若是请求出定值,若不是请求出S1S2的取值范围.

【答案】1AC

2)①△ADC是比例三角形;②

3.

【解析】

1)分三种情况讨论,由比例三角形的定义可求解;

2)①通过证明△ABC∽△DCA,可得,可得AD2ACCD,可得△ADC是比例三角形;

②由勾股定理可得AB2+AC2BC2AD2+CD2AC2BC2+CD2BD2,可得BDAC,即可求解;

3)分别求出S1S2,由勾股定理可求b的值,即可求解.

解:(1)∵△ABC是比例三角形,AB2BC3

∴若AB是比例中项,则AB2BC×AC

AC

AC是比例中项,则AC2BC×AB

AC

BC是比例中项,则BC2AC×AB

AC

2)①△ADC是比例三角形,

理由如下,

BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠CBD

ADBC

∴∠ACB=∠DAC,∠ADB=∠DBC

∴∠ABD=∠ADB

ABAD

∵∠DAC=∠ACB,∠BAC=∠ADC

∴△ABC∽△DCA

,且ADAB

AD2ACCD

∴△ADC是比例三角形;

②∵∠ADC90°=∠BACADBC

∴∠ADC=∠BCD90°

AB2+AC2BC2AD2+CD2AC2BC2+CD2BD2

2AC2BD2

BDAC

ABADAHBD

BHBDAC

3)∵三边长分别为abc的三角形是比例三角形,且b为比例中项,

b2aca0b0c0

∵已知抛物线yax2+bx+cy轴交于点B,顶点为A

B0c),点A(﹣

∴点A(﹣c

S1×c×

S2π×c2

∵以OB为直径的⊙M经过点A

∴∠OAB90°

OA2+OB2OC2

∴(2+c2+2+cc2c2

a2c2b2

∴(b21b20

b

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