Question

14．如图，直线PO交⊙O于A，B两点，直径AB=10，弦AC∥PM．点M是$\widehat{AC}$的中点，
（1）求证：直线PM是⊙O的切线；
（2）若BC=4，求PO的长．

Answer 1

分析 （1）连接OM交AC于N，由垂径定理的推论得出OM⊥AC，AN=CN，再由已知条件得出PM⊥OM，即可得出直线PM是⊙O的切线；
（2）证明ON是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出ON=$\frac{1}{2}$BC=2，证明△OAN∽△OPM，得出对应边成比例$\frac{OA}{PO}=\frac{ON}{OM}$，即可得出PO的长．

解答 （1）证明：连接OM交AC于N，如图所示：
∵点M是$\widehat{AC}$的中点，
∴OM⊥AC，AN=CN，
∵AC∥PM，
∴PM⊥OM，
∴直线PM是⊙O的切线；
（2）解：∵OA=OB，AN=CN，
∴ON是△ABC的中位线，
∴ON=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵AB=10，
∴OM=OA=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵AC∥PM，
∴△OAN∽△OPM，
∴$\frac{OA}{PO}=\frac{ON}{OM}$，即$\frac{5}{PO}=\frac{2}{5}$，
解得：PO=12.5．

点评 本题考查了切线的判定、垂径定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定，证明三角形相似得出比例式是解决问题（2）的关键．