Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6），

∴ ，解得 ．

∴抛物线的解析式为：y= x2+2x﹣6

（2）

解：如图，过点P作x轴的垂线，交AC于点N．

设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得

，解得 ，

∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣6．

设P点坐标为（x， x2+2x﹣6），则点N的坐标为（x，﹣x﹣6），

∴PN=PE﹣NE=﹣（ x2+2x﹣6）+（﹣x﹣6）=﹣ x2﹣3x．

∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，

∴S= PNOA= ×6（﹣ x2﹣3x）=﹣ （x+3）2+ ，

∴当x=﹣3时，S有最大值 ，此时点P的坐标为（﹣3，﹣ ）

（3）

解：在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：

∵y= x2+2x﹣6= （x+2）2﹣8，

∴顶点D的坐标为（﹣2，﹣8），

∵A（﹣6，0），

∴AD2=（﹣2+6）2+（﹣8﹣0）2=80．

设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：

①当A为直角顶点时，如图3①，

由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，

即（0+6）2+（t﹣0）2+80=（0+2）2+（t+8）2，

解得t=3，

所以点M的坐标为（0，3）；

②当D为直角顶点时，如图3②，

由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，

即（0+2）2+（t+8）2+80=（0+6）2+（t﹣0）2，

解得t=﹣7，

所以点M的坐标为（0，﹣7）；

③当M为直角顶点时，如图3③，

由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，

即（0+6）2+（t﹣0）2+（0+2）2+（t+8）2=80，

解得t=﹣2或﹣6，

所以点M的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣6）；

综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，3）或（0，﹣7）或（0，﹣2）或（0，﹣6）

【解析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x， x2+2x﹣6），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．