Question

【题目】将一副直角三角板按如图1 摆放在直线AD 上（直角三角板OBC 和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC 不动，将三角板MON 绕点O 以每秒8°的速度顺时针方向旋转t 秒．

（1）如图2，当t=　 　秒时，OM 平分∠AOC，此时∠NOC﹣∠AOM= ；

（2）继续旋转三角板MON，如图3，使得OM、ON 同时在直线OC 的右侧，猜想∠NOC与∠AOM 有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）；

（3）直线AD 的位置不变，若在三角板MON 开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O 以每秒2°的速度顺时针旋转，当OM 旋转至射线OD 上时，两个三角板同时停止运动．

①当t= 秒时，∠MOC=15°；

②请直接写出在旋转过程中，∠NOC 与∠AOM 的数量关系（数量关系中不能含t）．

Answer 1

【答案】(1) t=2.8125，45；（2）∠NOC﹣∠AOM=45°；(3)①5或10；②∠NOC﹣∠AOM=15°．

【解析】

（1）根据角平分线的定义得到∠AOM=∠AOC=22.5°，于是得到t=2.8125，由于∠MON=90°，∠MOC=22.5°，即可得到∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；

（2）根据题意得∠AON=90°+8t，求得∠NOC=90°+8t﹣45°=45°+8t，即可得到结论；

（3）①根据题意得∠AOB=2t，∠AOM=8t，求得∠AOC=45°+2t，列方程即可得到结论；

②根据角的和差即可得到结论．

（1）∵∠AOC=45°，OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=22.5°，∴t=2.8125．

∵∠MON=90°，∠MOC=22.5°，∴∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；

（2）∠NOC﹣∠AOM=45°．

∵∠AON=90°+8t，∴∠NOC=90°+8t﹣45°=45°+8t．

∵∠AOM=8t，∴∠NOC﹣∠AOM=45°；

（3）①∵∠AOB=2t，∠AOM=8t，∴∠AOC=45°+2t，∴45°+2t﹣8t=15°或8t﹣45°﹣2t=15°．

解得：t=5或10．

②∠NOC﹣∠AOM=15°．

∵∠AOB=2t，∠AOM=8t，∠MON=90°，∠BOC=45°．

∵∠AON=90°+∠AOM=90°+8t，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+2t，∴∠NOC=∠AON﹣∠AOC=90°+8t﹣45°﹣2t=45°+6t，∴∠NOC﹣∠AOM=15°．