Question

【题目】如图，在矩形 ABCD 中，CE⊥BD，AB=4，BC=3，P 为 BD 上一个动点，以 P 为圆心，PB 长半径作⊙P，⊙P 交 CE、BD、BC 交于 F、G、H（任意两点不重合），

（1）半径 BP 的长度范围为 ；

（2）连接 BF 并延长交 CD 于 K，若 tan KFC 3 ，求 BP；

（3）连接 GH，将劣弧 HG 沿着 HG 翻折交 BD 于点 M，试探究是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）BP=1；（3）

【解析】

（1）当点G和点E重合，当点G和点D重合两种临界状态，分别求出BP的值，因为任意点都不重合，所以BP在两者之间即可得出答案；

（2）∠KFC和∠BFE是对顶角，得到，得出EF的值，再根据△BEF∽△FEG，求出EG的值，进而可求出BP的值；

（3）设圆的半径，利用三角函数表示出PO，GO的值，看用面积法求出，在中由勾股定理得出MQ的值，进而可求出PM的值即可得出答案．

（1）当G点与E点重合时，BG=BE，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，

∴BD=5，

∵CE⊥BD，

∴,

∴,

在△BEC中，由勾股定理得：

,

∴,

当点G和点D重合时，如图所示：

∵△BCD是直角三角形，

∴BP=DP=CP,

∴，

∵任意两点都不重合，

∴，

（2）连接FG，如图所示：

∵∠KFC=∠BFE，tan KFC 3，

∴，

∴，

∴,

∵BG是圆的直径，

∴∠BFG=90°，

∴∠GFE+∠BFE=90°，

∵CE⊥BD，

∴∠FEG=∠FEB=90°，

∴∠GFE+∠FGE=90°，

∴∠BFE=∠FGE

∴△BEF∽△FEG，

∴,

∴,

∴,

∴BG=EG+BE=2，

∴BP=1，

（3）为定值，

过作,连接，，交GH于点O，如下图所示：

设，

则，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴