Question

【题目】如图，点A(1， 0)、B(4，0)、M(5，3)．动点P从A点出发，沿x轴以每秒1个单位的速度向右移动，过点P的直线l：y= -x+b也随之移动．设移动时间为t秒．

（1）当t=1时，求直线l的解析式．

（2）若直线l与线段BM有公共点，求t的取值范围．

（3）当点M关于直线l的对称点落在坐标轴上时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+2；（2）3≤t≤7；（3）t=2或4

【解析】

（1）先根据点P的运动路径表示出点P的坐标，然后将t=1代入即可得出点P的坐标，最后根据待定系数法即可确定l的解析式；

（2）先分别找出直线l过点B、M时b的值，然后再根据一次函数图像上点的坐标特征解答即可；

（3）分对称点落在x轴和y轴上两种情况讨论，先用待定系数法求出直线MC的解析式，则直线MC与x、y轴的交点将是点M关于直线l的对称点，再找出两直线的交点坐标，最后根据一次函数图像上的点坐标特征解答即可．

解：（1）直线y=-x+b交x轴于点P（1+t，0）

由题意，得b＞0，t≥0

当t=1时，-2+b=0

解得b=2

故y=-x+2；

（2）当直线y=-x+b过点B（4，0）时，0=-4+b，得：b=4，0=-（1+t）+4，解得t=3．

当直线y=-x+b过点M（5，3）时，3=-5+b，得：b=8，0=-（1+t）+8，解得t=7．

故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：3≤t≤7．

（3）如图，过点M作MC⊥直线l，交y轴于点C，交直线l于点D，则点C为点M在坐标轴上的对称点．设直线MC的解析式为y=x+m，则：3=5+m，解得m=-2，

故直线MC的解析式为y=x-2．

当x=0时，y=0-2=-2，则C点坐标为（0，-2），

∵（0+5）÷2=2.5，（3-2）÷2=0.5，∴D点坐标为（2.5，0.5），

当直线y=-x+b过点D（2.5，0.5）时，0.5=-2.5+b，解得：b=3，

0=-（1+t）+3，解得t=2．∴t为2时，点M关于l的对称点落在y轴上．

直线MC分别与x轴、直线l交与点E，F，则E（2， 0）

F(3.5， 1.5 ).即1.5=-3.5+b， b=5

t=4时点M关于l的对称点落在x轴上

综上，t=2或4时，M的对称点在坐标轴上．