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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线y=﹣x2+bx+cx轴交于A(10)B(30)两点,与y轴交于点C

1)求抛物线的函数解析式;

2)若直线l:线y=﹣x+m与该抛物线交于DE两点,如图.

①连接CDCEBE,当SBCE3SCDE时,求m的值;

②是否存在m的值,使得原点O关于直线l的对称点P刚好落在该抛物线上?如果存在,请直接写出m的值;如果不存在,请说明理由.

【答案】1y=﹣x2+x+;(2)①,②存在,

【解析】

1)把A(﹣10)、B30)两点代入y=﹣x2+bx+c转化为解方程组即可解决问题.

2)①首先证明lBC,由SBCE3SCDE,推出BC3DE,推出直线l应该在BC的上方,在BC上取一点F,使得BC3BF,推出四边形BEDF是平行四边形,由C0),B30),BC3BF,推出F2),设Dnn+m),则E[n+1n+1+m],将它们代入抛物线的解析式,解方程组即可解决问题.

②如图2中,过点OOMBC交抛物线于MM′.由题意直线l经过OMOM′的中点,构建方程组求出点MM′的坐标即可解决问题.

解:(1)把A(﹣10)、B30)两点代入y=﹣x2+bx+c可得:

解得:

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+

2)①如图,

对于y=﹣x2+x+,令x0,可得y

C0),

B30),

OCOB3

tanCBO

∴∠CBO30°

∵直线ly=﹣x+mx轴交于Nm0)与y轴交于M0m),

tanMNO

∴∠NMO30°=∠CBO

lBC

SBCE3SCDE

BC3DE

∴直线l应该在BC的上方,

BC上取一点F,使得BC3BF

BFDE

∴四边形BEDF是平行四边形,

C0),B30),BC3BF

F2),

Dnn+m),则E[n+1,﹣n+1+m],将它们代入抛物线的解析式得到:

解得:

m的值为

②如图2中,过点OOMBC交抛物线于MM′

则直线OM的解析式为yx

解得:

M),M′),

由题意直线l经过OMOM′的中点,

解得:m

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