【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若直线l:线y=﹣x+m与该抛物线交于D、E两点,如图.
①连接CD、CE、BE,当S△BCE=3S△CDE时,求m的值;
②是否存在m的值,使得原点O关于直线l的对称点P刚好落在该抛物线上?如果存在,请直接写出m的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+;(2)①,②存在,
【解析】
(1)把A(﹣1,0)、B(3,0)两点代入y=﹣x2+bx+c转化为解方程组即可解决问题.
(2)①首先证明l∥BC,由S△BCE=3S△CDE,推出BC=3DE,推出直线l应该在BC的上方,在BC上取一点F,使得BC=3BF,推出四边形BEDF是平行四边形,由C(0,),B(3,0),BC=3BF,推出F(2,),设D(n,n+m),则E[n+1,(n+1)+m],将它们代入抛物线的解析式,解方程组即可解决问题.
②如图2中,过点O作OM⊥BC交抛物线于M或M′.由题意直线l经过OM或OM′的中点,构建方程组求出点M,M′的坐标即可解决问题.
解:(1)把A(﹣1,0)、B(3,0)两点代入y=﹣x2+bx+c可得:
,
解得:,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+.
(2)①如图,
对于y=﹣x2+x+,令x=0,可得y=,
∴C(0,),
∵B(3,0),
∴OC=,OB=3,
∴tan∠CBO=,
∴∠CBO=30°,
∵直线l:y=﹣x+m与x轴交于N(m,0)与y轴交于M(0,m),
∴tan∠MNO==,
∴∠NMO=30°=∠CBO,
∴l∥BC,
∵S△BCE=3S△CDE,
∴BC=3DE,
∴直线l应该在BC的上方,
在BC上取一点F,使得BC=3BF,
∴BF=DE,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∵C(0,),B(3,0),BC=3BF,
∴F(2,),
设D(n,n+m),则E[n+1,﹣(n+1)+m],将它们代入抛物线的解析式得到:
,
解得:,
∴m的值为.
②如图2中,过点O作OM⊥BC交抛物线于M或M′.
则直线OM的解析式为y=x,
由,
解得:或,
∴M(,),M′(,),
由题意直线l经过OM或OM′的中点,
∴或,
解得:m=.
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【题目】如图,点A(1, 0)、B(4,0)、M(5,3).动点P从A点出发,沿x轴以每秒1个单位的速度向右移动,过点P的直线l:y= -x+b也随之移动.设移动时间为t秒.
(1)当t=1时,求直线l的解析式.
(2)若直线l与线段BM有公共点,求t的取值范围.
(3)当点M关于直线l的对称点落在坐标轴上时,求t的值.
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【题目】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠的放在一个底面为长方形(长为m,宽为n)的盒子底部(如图②),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,则图②中两块阴影部分的周长和是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,现有一横截面是一抛物线的水渠.一次,水渠管理员将一根长的标杆一端放在水渠底部的点,另一端露出水面并靠在水渠边缘的点,发现标杆有浸没在水中,露出水面部分的标杆与水面成的夹角(标杆与抛物线的横截面在同一平面内).
(1)以水面所在直线为轴,建立如图所示的直角坐标系,求该水渠横截面抛物线的解析式(结果保留根号);
(2)在(1)的条件下,求当水面再上升时的水面宽约为多少?(取,结果精确到).
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【题目】如图,矩形ABCD中,AD=2,以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB、AD于M、N两点,分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P,连接AP并延长交CD于点E,以A为圆心,AE为半径作弧,此弧刚好过点B,则CE的长为_____.
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【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论: ①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);⑤当1<x<4时,有y2<y1 ,
其中正确的是________.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE的延长线与CD的延长线交于点F.
(1)求证:△ABE≌△DFE;
(2)试连结BD,AF,判断四边形ABDF的形状,并证明你的结论.
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【题目】已知反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象相交于点A(2,6),和点B(4,m).
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)直接写出不等式≤ax+b的解集和△AOB的面积.
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【题目】如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=900,∠B=∠E=300.
(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转。当点D恰好落在BC边上时,填空:线段DE与AC的位置关系是 ;
② 设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2。则S1与S2的数量关系是 。
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC,CE边上的高,请你证明小明的猜想。
(3)拓展探究
已知∠ABC=600,点D是其角平分线上一点,BD=CD=4,OE∥AB交BC于点E(如图4),若在射线BA上存在点F,使S△DCF =S△BDC,请直接写出相应的BF的长
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