【题目】如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y交于点C,∠BAC的平分线与y轴交于点D,与抛物线相交于点Q,P是线段AB上一点,过点P作x轴的垂线,分别交AD,AC于点E,F,连接BE,BF.
(1)如图1,求线段AC所在直线的解析式;
(2)如图1,求△BEF面积的最大值和此时点P的坐标;
(3)如图2,以EF为边,在它的右侧作正方形EFGH,点P在线段AB上运动时正方形EFGH也随之运动和变化,当正方形EFGH的顶点G或顶点H在线段BC上时,求正方形EFGH的边长.
【答案】(1);(2)当x=﹣1时,S△BEF的最大值=.P(﹣1,0);(3)顶点G在线段BC上时,,正方形的边长为;顶点H在线段BC上时,,正方形的边长为.
【解析】
试题分析:(1)由抛物线解析式求得点A、C的坐标,然后根据待定系数法来求直线AC的直线方程即可;
(2)如答图2,在直角三角形AOC中利用勾股定理求得AC的长度;过点D作DI⊥AC于点I,构建全等三角形△ADI≌△ADO(SSA)和Rt△CDI,利用全等三角形的性质可以设DI=DO=m,则DC=OC﹣OD=4﹣m.所以根据勾股定理列出关于m的方程,借助于方程解题即可求得点D的坐标;然后利用待定系数法求得直线AD方程,由直线上点的坐标特征、三角形的面积公式和二次函数最值的求法来求△BEF面积的最大值和此时点P的坐标;
(3)需要分类讨论:①当顶点G在线段BC上时,如答图3.设P(t,0),则由一次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质推知,,.所以由正方形的邻边相等得到:,易得EF、FG的长度,从而求得点P的坐标和正方形的边长;
同理,②当顶点H在线段BC上时,,正方形的边长为.
解:(1)如答图1,抛物线的解析式为:.
令x=0,则y=﹣4,
∴C(0,﹣4).
令y=0,则,
解得,x1=﹣3,x2=1.
∴A(﹣3,0),B(1,0).
设直线AC所在直线解析式为:y=kx+b(k≠0),
将A(﹣3,0),C(0,﹣4)代入可得,,
解得,
直线AC所在直线解析式为:;
(2)过点D作DI⊥AC于点I,如答图2.
∵A(﹣3,0),C(0,﹣4),
∴OA=3.
∴OC=4.
在Rt△AOC中,.
∵在△ADI与△ADO中,,
∴△ADI≌△ADO(SSA),
∴AI=AO=3,DI=DO.
设DI=DO=m,则DC=OC﹣OD=4﹣m.
∵IC=AC﹣AI,
∴IC=5﹣3=2.
在Rt△CDI中,∵ID2+IC2=DC2,
∴m2+22=(4﹣m)2,
解得,.
∴.
∴.
设直线AD所在直线解析式为:y=kx+b(k≠0),
将A(﹣3,0),代入可得,,
解得,
直线AD所在直线解析式为:.
又∵直线AC的解析式为:.
∴设P(n,0),则,,
∴BP=1﹣n,,
∴=.
∴该函数的对称轴是直线x=﹣1.
∴当x=﹣1时,S△BEF的最大值=.
此时,P(﹣1,0);
(3)由B(1,0),C(0,﹣4)可得直线BC的解析式为:y=4x﹣4.
①当顶点G在线段BC上时,如答图3.
设P(t,0),则,,.
∴,.
∵EF=FG,
∴,
解得,.
∴.
∴顶点G在线段BC上时,,正方形的边长为;
②当顶点H在线段BC上时,如答图4.
设P(t,0),则,,.
∴,.
∵EF=EH,
∴,
解得,.
∴.
∴顶点H在线段BC上时,,正方形的边长为.
综上所述,顶点G在线段BC上时,,正方形的边长为;顶点H在线段BC上时,,正方形的边长为.
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【题目】如图,点B、C、E在同一条直线上,△ABC与△CDE都是等边三角形,则下列结论不一定成立的是( )
A.△ACE≌△BCD B.△BGC≌△AFC
C.△DCG≌△ECF D.△ADB≌△CEA
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【题目】已知:点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.
(1)如图1,若点O在边BC上,求证:AB=AC;
(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证:AB=AC;
(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?请画出图表示.
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【题目】如图,锐角三角形ABC中,直线L为BC的中垂线,直线M为∠ABC的角平分线,L与M相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP的度数为何?( )
A.24° B.30° C.32° D.36°
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【题目】轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3小时,若船速为26千米/时,水速为2千米/时,求A港和B港相距多少千米.设A港和B港相距x千米.根据题意,可列出的方程是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(1,0),B(3,0),C(0,﹣3)
(1)求此二次函数的解析式以及顶点D的坐标;
(2)如图①,过此二次函数抛物线图象上一动点P(m,n)(0<m<3)作y轴平行线,交直线BC于点E,是否存在一点P,使线段PE的长最大?若存在,求出PE长的最大值;若不存在,说明理由.
(3)如图②,过点A作y轴的平行线交直线BC于点F,连接DA、DB、四边形OAFC沿射线CB方向运动,速度为每秒1个单位长度,运动时间为t秒,当点C与点F重合时立即停止运动,求运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积S的最大值.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
x | … | 0 | 1 | 2 | … |
y | … | 4 | ﹣4 | 6 | … |
(1)ac<0;(2)当x>1时,y的值随x值得增大而增大;(3)﹣1是方程ax2+bx+c=0的一个根;(4)当﹣1<x<2时,ax2+bx+c<0,其中正确的个数为( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
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【题目】如图,一只甲虫在5×5的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动,它从A处出发看望B、C、D处的其它甲虫.规定:向上向右走为正,向下向左走为负,如果从A到B记为:A→B(+1,+4),从B到A记为:B→A(-1,-4).其中第一数表示左右方向,第二个数表示上下方向,那么图中
(1)A→C( , ),B→D( , );
(2)若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D,请计算该甲虫走过的路程.
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