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【题目】如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y交于点C,BAC的平分线与y轴交于点D,与抛物线相交于点Q,P是线段AB上一点,过点P作x轴的垂线,分别交AD,AC于点E,F,连接BE,BF.

(1)如图1,求线段AC所在直线的解析式;

(2)如图1,求BEF面积的最大值和此时点P的坐标;

(3)如图2,以EF为边,在它的右侧作正方形EFGH,点P在线段AB上运动时正方形EFGH也随之运动和变化,当正方形EFGH的顶点G或顶点H在线段BC上时,求正方形EFGH的边长.

【答案】(1)(2)当x=﹣1时,SBEF的最大值=.P(﹣1,0);(3)顶点G在线段BC上时,,正方形的边长为;顶点H在线段BC上时,,正方形的边长为

【解析】

试题分析:(1)由抛物线解析式求得点A、C的坐标,然后根据待定系数法来求直线AC的直线方程即可;

(2)如答图2,在直角三角形AOC中利用勾股定理求得AC的长度;过点D作DIAC于点I,构建全等三角形ADI≌△ADO(SSA)和RtCDI,利用全等三角形的性质可以设DI=DO=m,则DC=OC﹣OD=4﹣m.所以根据勾股定理列出关于m的方程,借助于方程解题即可求得点D的坐标;然后利用待定系数法求得直线AD方程,由直线上点的坐标特征、三角形的面积公式和二次函数最值的求法来求BEF面积的最大值和此时点P的坐标;

(3)需要分类讨论:①当顶点G在线段BC上时,如答图3.设P(t,0),则由一次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质推知.所以由正方形的邻边相等得到:,易得EF、FG的长度,从而求得点P的坐标和正方形的边长;

同理,②当顶点H在线段BC上时,,正方形的边长为

解:(1)如答图1,抛物线的解析式为:

令x=0,则y=﹣4,

C(0,﹣4).

令y=0,则

解得,x1=﹣3,x2=1.

A(﹣3,0),B(1,0).

设直线AC所在直线解析式为:y=kx+b(k≠0),

将A(﹣3,0),C(0,﹣4)代入可得,

解得

直线AC所在直线解析式为:

(2)过点D作DIAC于点I,如答图2.

A(﹣3,0),C(0,﹣4),

OA=3

OC=4

在RtAOC中,

ADIADO中,

∴△ADI≌△ADO(SSA),

AI=AO=3,DI=DO.

设DI=DO=m,则DC=OC﹣OD=4﹣m.

IC=AC﹣AI,

IC=5﹣3=2.

在RtCDI中,ID2+IC2=DC2

m2+22=(4﹣m)2

解得,

设直线AD所在直线解析式为:y=kx+b(k≠0),

将A(﹣3,0),代入可得,

解得

直线AD所在直线解析式为:

直线AC的解析式为:

设P(n,0),则

BP=1﹣n,

=

该函数的对称轴是直线x=﹣1.

当x=﹣1时,SBEF的最大值=

此时,P(﹣1,0);

(3)由B(1,0),C(0,﹣4)可得直线BC的解析式为:y=4x﹣4.

①当顶点G在线段BC上时,如答图3.

设P(t,0),则

EF=FG

解得,

顶点G在线段BC上时,,正方形的边长为

②当顶点H在线段BC上时,如答图4.

设P(t,0),则

EF=EH

解得,

顶点H在线段BC上时,,正方形的边长为

综上所述,顶点G在线段BC上时,,正方形的边长为;顶点H在线段BC上时,,正方形的边长为

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