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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(1,0),B(3,0),C(0,﹣3)

(1)求此二次函数的解析式以及顶点D的坐标;

(2)如图①,过此二次函数抛物线图象上一动点P(m,n)(0<m<3)作y轴平行线,交直线BC于点E,是否存在一点P,使线段PE的长最大?若存在,求出PE长的最大值;若不存在,说明理由.

(3)如图②,过点A作y轴的平行线交直线BC于点F,连接DA、DB、四边形OAFC沿射线CB方向运动,速度为每秒1个单位长度,运动时间为t秒,当点C与点F重合时立即停止运动,求运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积S的最大值.

【答案】(1)y=﹣x2+4x﹣3(2,1)(2)存在当m=时,PE的长有最大值,最大值为(3)四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积S的最大值为2.

【解析】

试题分析:(1)利用待定系数法即可求得抛物线的解析式,然后化为顶点式即可求得顶点的坐标.

(2)先求得直线BC的解析式,设P(x,﹣x2+4x﹣3),则F(x,x﹣3),根据PF等于P点的纵坐标减去F点的纵坐标即可求得PF关于x的函数关系式,从而求得P的坐标和PF的最大值;

(3)线利用待定系数法求得直线AD的解析式为y=x﹣1,直线BC的解析式为:y=x﹣3,从而得到ADBC,且与x轴正半轴夹角均为45°,由平行于与y轴的直线上点的坐标特点可求得F(1,﹣2),从而可求得AF=2,由当点C与点F重合时立即停止运动,可知0≤t≤,由AFA′F′,ADC′B,可知四边形AFF′A′为平行四边形,根据由平行四边形的面积公式可知当t=时,重合部分的面积最大,设A′F′与x轴交于点K,依据特殊锐角三角函数值可求得AK=1.依据平行四边形的面积公式可求得重合部分的最大面积为2.

解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣3),将点C的坐标代入得:3a=﹣3,

解得:a=﹣1.

将a=﹣1代入得:y=﹣(x﹣1)(x﹣3)=﹣x2+4x﹣3.

抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3.

由抛物线的对称轴方程可知:x=﹣=2,

将x=2代入抛物线的解析式得:y=1.

点D的坐标为(2,1).

(2)存在.

理由:设直线BE的解析式为y=kx+b.

将B(3,0),C(0,﹣3)代入上式,得:

解得:k=1,b=﹣3.

则直线BC的解析式为y=x﹣3.

PEy轴,

点P与点E的横坐标均为m.

将x=m代入直线BC的解析式的y=m﹣3,

点E的坐标为(m﹣3).

将x=m代入抛物线的解析式得y=﹣m2+4m﹣3,

点P的坐标为(m,﹣m2+4m﹣3).

PE﹣m2+4m﹣3﹣(m﹣3)=﹣m2+3m=﹣(m2﹣3m+)=﹣(m﹣)2+

当m=时,PE的长有最大值,最大值为

(3)如图所示:

A(1,0)、B(3,0)、D(2,1)、C(0,﹣3),

可求得直线AD的解析式为:y=x﹣1;直线BC的解析式为:y=x﹣3.

ADBC,且与x轴正半轴夹角均为45°.

AFy轴,

F(1,﹣2),

AF=2

当点C与点F重合时立即停止运动,

0≤t≤

AFA′F′,ADC′B

四边形AFF′A′为平行四边形.

当AA′有最大值时,重合部分的面积最大.

当t=时,重合部分的面积最大.

设A′F′与x轴交于点K,则AK=AA′==1.

S=SAFF′A′=AFAK=2×1=2.

四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积S的最大值为2.

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