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【题目】如图①,已知直线y=﹣x+3分别交x轴,y轴于点A,点B.点P是射线AO上的一个动点.把线段PO绕点P逆时针旋转90°得到的对应线段为PO′,再延长PO′到C使CO′=PO′,连结AC,设点P坐标为(m,0),APC的面积为S.

(1)直接写出OA和OB的长,OA的长是 ,OB的长是

(2)当点P在线段OA上(不含端点)时,求S关于m的函数表达式;

(3)当以A,P,C为顶点的三角形和AOB相似时,求出所有满足条件的m的值;

(4)如图②,当点P关于OC的对称点P′落在直线AB上时,m的值是

【答案】(1)6,3;(2)S=(6﹣m)2m=﹣m2+6m(0<m<6);(3)m=3,m=1.2,m=﹣2;(4)

【解析】

试题分析:(1)根据自变量与函数值的对应关系,可得A、B点坐标,可得OA,OB的长;

(2)根据旋转的性质,可得PO′,根据线段中点的性质,可得PC的长,根据三角形的面积公式,可得答案;

(3)根据相似三角形的性质,可得关于m的方程,根据解方程,可得答案;

(4)根据待定系数法,可得OC的解析式,PP′的解析式,根据解方程组,可得D点坐标,根据中点的坐标公式,可得P′点坐标,根据图象上的点满足函数解析式,可得关于m的方程,根据解方程,可得答案.

解:(1)由直线y=﹣x+3可知A(6,0),B(0,3),

OA=6,OB=3,

故答案为:6,3;

(2)点P坐标为(m,0),

OP=m

线段PO绕点P逆时针旋转90°,得

对应线段为PO′=m.

再延长PO′到C使CO′=PO′,

PC=2m

PA=6﹣m,

S=(6﹣m)2m=﹣m2+6m(0<m<6);

(3)当0≤m<6时,

以A,P,C为顶点的三角形和AOB相似,

=,解得m=3,

=,解得m=1.2;

当m<0时,

以A,P,C为顶点的三角形和AOB相似,

=,m的值不存在,

=,解得m=﹣2,

综上所述:m=3,m=1.2,m=﹣2;

(4)如图1:

P(m,0),C(m,﹣2m)

OC的解析式为y=﹣2x,

PP′的解析式为y=x﹣m,

联立OC与PP′,得

解得

D(,﹣m),

P′横坐标2×﹣m=﹣m,纵坐标2×(﹣m)﹣0=﹣m,

P′(﹣m,﹣m).

将P′点的坐标代入AB,得

m=﹣×(﹣m)+3,

解得m=﹣

故答案为:﹣

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