Question

18．如图，抛物线y=-$\frac{4}{9}$x²+$\frac{16}{9}$x+$\frac{20}{9}$与x轴相交于A、B两点，抛物线的顶点为C，问：在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使⊙P与x轴和直线BC都相切？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 首先求出点A和点B的坐标，进而求出抛物线的顶点坐标以及对称轴，然后作出图形，利用勾股定理的知识求出点P的纵坐标即可．

解答 解：令y=-$\frac{4}{9}$x²+$\frac{16}{9}$x+$\frac{20}{9}$=0，
即-4x²+16x+20=0，
∴x²-4x-5=0，
∴（x-5）（x+1）=0，
∴x₁=-1，x₂=5，
∴点A（-1，0），点B（5，0），
∴抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4），
假设存在点P，使⊙P与x轴和直线BC都相切，
则点P是∠ABC的角平分线与对称轴的交点，如图，
过P点作PE⊥BC于点E，
则PE=PD，BD=BE，
∵CD=4，BC=3，
∴BC=5，
设PD=PE=x，
则PC=4-x，CE=2，
∴CE²+PE²=PC²，
∴2²+x²=（4-x）²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴P点坐标为（2，$\frac{3}{2}$），
即抛物线的对称轴上存在一点P，使⊙P与x轴和直线BC都相切．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点问题，解答本题的关键是找出点P在∠ABC的角平分线与对称轴的交点上，此题难度不大．