Question

如图，在中，，，，AF=10cm， AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从点向点运动，动点以1cm/s的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．

（1）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有；
（2）当t取何值时，与全等；
（3）在（2）的前提下，若，,求。

Answer 1

(1)证明见解析；（2）；（3）.

试题分析：（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．
(2)若△DFE与△DMG全等，则EF=MG，利用已知条件求出EF和MG的长度，建立方程解方程即可求出运动的时间．
（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．
试题解析：（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵S_△AED=AE•DF，S_△DGC=CG•DM，
∴，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴AE=2tcm，CG=tcm，
∴，即，
∴在运动过程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．
（2）解：设时间为t时，△DFE与△DMG全等，则EF=MG
①当M在线段CG的延长线上时，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，
即10-2t=4-t，
解得：t=6，
当t=6时，MG=-2，所以舍去；
②当M在线段CG上时，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），
即10-2t=t-4，
解得：t=，
综上所述当t=时，△DFE与△DMG全等．
（3）∵t=，
∴AE=2t=（cm），
∵DF=DM，
∴S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，
∵AC=14cm，
∴AB=（cm），
∴BF=AB-AF=-10=（cm），
∵S_△ADE：S_△BDF=AE：BF=：，S_△AED=28cm²，
∴S_△BDF=（cm²）．
考点: 1.全等三角形的判定与性质；2.三角形的面积；3.角平分线的性质．