【题目】如图,抛物线(a≠0)与x轴交于A(4,0)、B(﹣1,0)两点,过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在直线AC上有一动点E,当点E在某个位置时,使△BDE的周长最小,求此时E点坐标;
(3)当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时,是否存在使△BDE为直角三角形的情况,若存在,请直接写出符合要求的E点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)E(,);(3)E(3,1)或(,).
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线解析式;
(2)先判断出周长最小时BE⊥AC,即作点B关于直线AC的对称点F,连接DF,交AC于点E,联立方程组即可;
(3)三角形BDE是直角三角形时,由于BD>BG,因此只有∠DBE=90°或∠BDE=90°,两种情况,利用直线垂直求出点E坐标.
试题解析:(1)∵抛物线(a≠0)与x轴交于A(4,0)、B(﹣1,0)两点,∴,∴,∴抛物线解析式为;
(2)如图1,作点B关于直线AC的对称点F,连接DF交AC于点E,由(1)得,抛物线解析式为①,∴D(0,﹣4),∵点C是直线y=﹣x+4②与抛物线的交点,∴联立①②得:,解得,(舍)或,∴C(﹣2,6),∵A(4,0),∴直线AC解析式为y=﹣x+4,∵直线BF⊥AC,且B(﹣1,0),∴直线BF解析式为y=x+1,设点F(m,m+1),∴G(,),∵点G在直线AC上,∴,∴m=4,∴F(4,5),∵D(0,﹣4),∴直线DF解析式为,∵直线AC解析式为y=﹣x+4,∴直线DF和直线AC的交点E(,);
(3)∵BD=,由(2)有,点B到线段AC的距离为BG=BF=×=>BD,∴∠BED不可能是直角,∵B(﹣1,0),D(0,﹣4),∴直线BD解析式为y=﹣4x+4,∵△BDE为直角三角形,∴∠BDE=90°或∠BDE=90°.
①当∠BDE=90°时, BE⊥BD交AC于B,∴直线BE解析式为,∵点E在直线AC:y=﹣x+4的图象上,∴E(3,1);
当②∠BDE=90°时,BE⊥BD交AC于D,∴直线BE的解析式为,∵点E在抛物线上,∴直线BE与抛物线的交点为(0,﹣4)和(,),∴E(,),即:满足条件的点E的坐标为E(3,1)或(,).
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【题目】在数轴上,A点和B点所表示的数分别为-2和1,若使A点表示的数是B点表示的数的3倍,应把A点 ( )
A.向左移动5个单位
B.向右移动5个单位
C.向右移动4个单位
D.向左移动1个单位或向右移动5个单位
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【题目】星期天,玲玲骑自行车到郊外游玩,她离家的距离与时间的关系如图所示,请根据图象回答下列问题.
(1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间?离家多远?
(2)她何时开始第一次休息?休息了多长时间?
(3)她骑车速度最快是在什么时候?车速多少?
(4)玲玲全程骑车的平均速度是多少?
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【题目】如图,抛物线(a≠0)与x轴交于点A(﹣5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点,当S△ABE=S△ABC时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使∠BAP=∠CAE?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】下列运算正确的是( )
A. -x3+3x2=x2 B. 3a2b-3ba2=0 C. -3(a+b)=-3a+3b D. 3y2-2y2=1
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【题目】从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲),然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积,可以验证成立的公式为( )
A.a2﹣b2=(a﹣b)2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
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【题目】如图,反比例函数(x>0)的图象与直线y=x交于点M,∠AMB=90°,其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A,B,四边形OAMB的面积为6.
(1)求k的值;
(2)点P在反比例函数(x>0)的图象上,若点P的横坐标为3,∠EPF=90°,其两边分别与x轴的正半轴,直线y=x交于点E,F,问是否存在点E,使得PE=PF?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
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