Question

18．如图，平行四边形ABCD中，AD=9cm，CD=3$\sqrt{2}$cm，∠B=45°，点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）
（1）求BC边上高AE的长度；
（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；
（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．

Answer 1

分析 （1）先由平行四边形的性质得出AB=CD=3$\sqrt{2}$cm．再解直角△ABE，即可求出AE的长度；
（2）先证明四边形AMCN为平行四边形，则当AN=AM时，四边形AMCN为菱形．根据AN=AM列出方程3²+（6-t）²=t²，解方程即可；
（3）先证明四边形MPNQ为矩形，则当QM=QN时，四边形MPNQ为正方形．根据QM=QN列出方程2t-6=3，解方程即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3$\sqrt{2}$cm．
在直角△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°，
∴AE=AB•sin∠B=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3（cm）；

（2）∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6），
∴AM=CN=t，
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN为平行四边形，
∴当AN=AM时，四边形AMCN为菱形．
∵BE=AE=3，EN=6-t，
∴AN²=3²+（6-t）²，
∴3²+（6-t）²=t²，
解得t=$\frac{15}{4}$．
故当t为$\frac{15}{4}$时，四边形AMCN为菱形；

（3）∵MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，
∴四边形MPNQ为矩形，
∴当QM=QN时，四边形MPNQ为正方形．
∵AM=CN=t，BE=3，
∴AQ=EN=BC-BE-CN=9-3-t=6-t，
∴QM=AM-AQ=t-（6-t）=2t-6，
∵QN=AE=3，
∴2t-6=3，
解得t=4.5．
故当t为4.5时，四边形MPNQ为正方形．

点评 本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，菱形的判定，正方形的判定，利用数形结合与方程思想是解题的关键．