Question

如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，若AF=4，BC=8，OD=3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：计算题

分析：连结OD、OE、OF、OB、OC、OA，如图，根据内切圆的性质得OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD=OE=OF=3，根据三角形面积公式得到S_△ABC=

1

2

•OD•AB+

1

2

OF•BC+

1

2

OE•AC=

3

2

（AB+BC+AC），再根据切线长定理得AD=AE=4，BD=BF，CF=CE，则AB+BC+AC=2AE+2BC=24，所以可计算出S_△ABC=36．

解答：解：连结OD、OE、OF、OB、OC、OA，如图，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD=OE=OF=3，
∴S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OAC
=

1

2

•OD•AB+

1

2

OF•BC+

1

2

OE•AC
=

3

2

（AB+BC+AC），
∵AD=AE=4，BD=BF，CF=CE，
∴AB+BC+AC=AD+BD+BC+AE+CE=2AE+2BC=8+16=24，
∴S_△ABC=

3

2

•24=36．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线长定理．