Question

8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在第四象限，点B在x轴正半轴上，△OAB的面积为6，点P在线段AB上，并把线段分成1：2两部分，若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A，P，则k的值为3或-$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 过点P作PC⊥x轴，垂足为C点，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，可得△BCP∽△BDA，由点P在线段AB上，并把线段分成1：2两部分，可得BP：AB=1：3或BP：AB=2：3，从而可得S_△BCP：S_△BDA=1：9或4：9，由△OAB的面积为6，点P在线段AB上，并把线段分成1：2两部分，从而得到S_△BOP=2或4，再利用反比例函数k的几何意义，可得到△AOD的面积与△OPC的面积均为k的绝对值的一半，从而表示出△ADB的面积，再利用比例表示出△BCP的面积，再利用△BCP的面积列出含k的方程，解出即可得到k的值．

解答 解：如图，过点P作PC⊥x轴，垂足为C点，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，
∴PC∥AD，
∴△BCP∽△BDA，
∵点P在线段AB上，并把线段分成1：2两部分，
∴应分两种情况讨论：
①当BP：AP=1：2时，BP：AB=1：3，
∴S_△BCP：S_△BDA=1：9，
∵△OAB的面积为6，
∴S_△BOP=2，
∵△AOD的面积=△OPC的面积=$\frac{1}{2}$|k|，
∴△ADB的面积=6-$\frac{1}{2}$|k|，
∴△BCP的面积=$\frac{1}{9}$（6-$\frac{1}{2}$|k|），
∵△BCP的面积=S_△BOP-$\frac{1}{2}$|k|，
∴$\frac{1}{9}$（6-$\frac{1}{2}$|k|）=S_△BOP-$\frac{1}{2}$|k|
∴$\frac{1}{9}$（6-$\frac{1}{2}$|k|）=2-$\frac{1}{2}$|k|
∴|k|=3，
∴k=±3，
∵点A、P在第四象限，
∴k=-3，
②当BP：AP=2：1时，BP：AB=2：3，
∴S_△BCP：S_△BDA=4：9，
∵△OAB的面积为6，
∴S_△BOP=4，
∵△AOD的面积=△OPC的面积=$\frac{1}{2}$|k|，
∴△ADB的面积=6-$\frac{1}{2}$|k|，
∴△BCP的面积=$\frac{4}{9}$（6-$\frac{1}{2}$|k|），
∵△BCP的面积=S_△BOP-$\frac{1}{2}$|k|，
∴$\frac{4}{9}$（6-$\frac{1}{2}$|k|）=S_△BOP-$\frac{1}{2}$|k|
∴$\frac{4}{9}$（6-$\frac{1}{2}$|k|）=4-$\frac{1}{2}$|k|，
∴|k|=$\frac{24}{5}$，
∴k=±$\frac{24}{5}$，
∵点A、P在第四象限，
∴k=-$\frac{24}{5}$，
故k的值为3或-$\frac{24}{5}$，
故答案为：3或-$\frac{24}{5}$．

点评 本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，能利用三角形的面积间的关系得到关于k的方程是解题的关键．