Question

18．如图，抛物线y=ax²+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长及H点的坐标；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，进而可用配方法求出其顶点D的坐标；
（2）根据抛物线的解析式可求出C点的坐标，由于CD是定长，若△CDH的周长最小，那么CH+DH的值最小，由于EF垂直平分线段BC，那么B、C关于直线EF对称，所以BD与EF的交点即为所求的H点；易求得直线BC的解析式，关键是求出直线EF的解析式；由于E是BC的中点，根据B、C的坐标即可求出E点的坐标；可证△CEG∽△COB，根据相似三角形所得的比例线段即可求出CG、OG的长，由此可求出G点坐标，进而可用待定系数法求出直线EF的解析式，由此得解；
（3）过K作x轴的垂线，交直线EF于N；设出K点的横坐标，根据抛物线和直线EF的解析式，即可表示出K、N的纵坐标，也就能得到KN的长，以KN为底，F、E横坐标差的绝对值为高，可求出△KEF的面积，由此可得到关于△KEF的面积与K点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出其面积的最大值及对应的K点坐标

解答 解：（1）由题意，得 $\left\{\begin{array}{l}16a-4b+4=0\\ 4a+2b+4=0\end{array}\right.$，
解得$a=-\frac{1}{2}$，b=-1，
所以抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}{x^2}-x+4$，顶点D的坐标为（-1，$\frac{9}{2}$）；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．
∵EF垂直平分BC，
∴C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，
∴这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为DH+CH=DH+HB=BD=$\sqrt{B{M^2}+D{M^2}}=\frac{3}{2}\sqrt{13}$． 
而 $CD=\sqrt{{1^2}+{{（\frac{9}{2}-4）}^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
∴△CDH的周长最小值为CD+DH+CH=$\frac{{\sqrt{5}+3\sqrt{13}}}{2}$，
设直线BD的解析式为y=k₁x+b，则 $\left\{\begin{array}{l}2{k_1}+{b_1}=0\\-{k_1}+{b_1}=\frac{9}{2}\end{array}\right.$，
解得 ${k_1}=-\frac{3}{2}$，b₁=3．
所以直线BD的解析式为y=$-\frac{3}{2}$x+3，
由于BC=2$\sqrt{5}$，CE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{5}$，Rt△CEG∽△COB，
得 CE：CO=CG：CB，所以 CG=2.5，GO=1.5．G（0，1.5）．
同理可求得直线EF的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{8}$）；
（3）设K（t，$-\frac{1}{2}{t^2}-t+4$），x_F＜t＜x_E．
过K作x轴的垂线交EF于N．
则KN=y_K-y_N=$-\frac{1}{2}{t^2}-t+4$-（$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）=$-\frac{1}{2}{t^2}-\frac{3}{2}t+\frac{5}{2}$．
所以 S_△EFK=S_△KFN+S_△KNE=$\frac{1}{2}$KN（t+3）+$\frac{1}{2}$KN（1-t）=2KN=-t²-3t+5=-（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{29}{4}$．
即当t=-$\frac{3}{2}$时，△EFK的面积最大，最大面积为$\frac{29}{4}$，此时K（-$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{8}$）．

点评 本题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积的求法、二次函数的应用等知识，难度较大．