Question

【题目】如图1，点P(m，n)在一次函数y＝﹣x的图象上，将点P绕点A(﹣，﹣)逆时针旋转45°，旋转后的对应点为P′．

（1）当m＝0时，求点P′的坐标；

（2）试说明：不论m为何值，点P′的纵坐标始终不变；

（3）如图2，过点P作x轴的垂线交直线AP′于点B，若直线PB与二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象交于点Q，当m＞0时，试判断点B是否一定在点Q的上方，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）点 B一定在点Q的上方，见解析

【解析】

（1）当m＝0时，点P（0，0），而点A的坐标为（﹣，﹣），则点A在直线y＝x上且PA＝2，进而求解；

（2）点A的坐标为（﹣，﹣），故点A在直线y＝x上，则点P′A∥y轴，即可求解；

（3）求出直线AB的函数关系式为：y＝x+﹣，再求出点P、Q的坐标，即可求解．

（1）当m＝0时，点P（0，0），

∵点A的坐标为（﹣，﹣），

故点A在直线y＝x上且PA＝2，

∵点P绕点A（﹣，﹣）逆时针旋转45°，

∴P′A∥y轴，

故；

（2）∵点A的坐标为（﹣，﹣），

故点A在直线y＝x上，则点P′A∥y轴，

∵P′A＝PA＝2，

∴点P 的纵坐标均为；

（3）点 B一定在点Q的上方，理由：

根据条件首先求出P'的坐标，

设直线AB的表达式为：y＝kx+b，

将点A、P′的坐标代入上式得：，解得，

从而求出直线AB的函数关系式为：y＝x+﹣，

当x＝m时，y＝，即点B（m，），

当x＝m时，yQ＝﹣m2﹣m+2，即点Q（m，﹣m2﹣m+2），

∴yB﹣yQ＝﹣（﹣m2﹣m+2）＝m2+，

∵m＞0

∴

∴yB＞yQ

∴点 B一定在点Q的上方．